Friday, March 10, 2017

√ Menuntaskan Persamaan Trigonometri (Sinus, Kosinus Dan Tangen)



Dalam kesempatan ini akan dibahas perihal persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri merupakan bentuk-bentuk trigonometri yang mengandung variabel di dalamnya dan memuat tanda sama dengan. Tujuan dari persamaan trigonometri yakni memilih penyelesaian (mencari nilai variabel) sehingga dengan nilai tersebut maka persamaan trigonometri menjadi benar.
Perhatikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri berikut.
Misalkan variabelnya yakni x.
1. sin 2x = sin 60o
2. cos (3x + 45o)= cos 60o
3. sin (2x + 30o) = 0,5
4. tan (0,5x + 20o) = tan 120o
5. cos (4x + 60o)= 1/2 V3
6. tan (3x - 30) - 1/2 = 0
7. sin2 x + 2 sin x – 3 = 0
8. (1 – cos 2x) +  sin x – 1 = 0

Dalam kesempatan ini akan dibahas perihal persamaan trigonometri √ Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Sinus, Kosinus dan Tangen)

1. Bentuk sin x = sin a dan sin x = p
Jika dipunyai persamaan sin x = sin a, maka penyelesaiannya adalah:
(i)    x = a + k.360o 
(ii)   x = (180o – a) + k.360o
 dengan k bilangan bulat

Perhatikan rujukan berikut.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin 2x = sin 60o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
sin 2x = sin 60o
(i) 2x =  60o + k.360o
     x = 30o + k.180o
     Untuk k = 0, maka x = 30o
               k = 1, maka x = 210o
(ii) 2x =  (180o - 60o) + k.360o
      x =  120o + k.360o
     x = 60o + k.180o
     Untuk k = 0, maka x = 60o
               k = 1, maka x = 240o
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { 30o, 60o, 210o, 240o}



2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin (2x + 40o) = sin 50o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
sin (2x + 40o) = sin 50o
(i) 2x + 40o =  50o + k.360o
     2x =  (50o – 40o) + k.360o
     2x =  10o + k.360o
     x = 5o + k.180o
     Untuk k = 0, maka x = 5o
               k = 1, maka x = 185o
(ii) 2x + 40o =  (180o - 50o) + k.360o
     2x =  (30o – 40o) + k.360o
     2x =  -10o + k.360o
     x = -5o + k.180o
     Untuk k = 0, maka x = -5o
               k = 1, maka x = 175o
               k = 2, maka x = 355o        
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { 5o, 175o, 185o, 355o}.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin (3x + 45o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
sin (3x + 45o) = 1
sin (3x + 45o) = sin 90
(i) 3x + 45o =  90o + k.360o
     3x =  (90o – 45o) + k.360o
     3x =  45o + k.360o
     x = 15o + k.120o
     Untuk k = 0, maka x = 15o
               k = 1, maka x = 135o
               k = 2, maka x = 255o
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni {15o, 135o, 255o}.



2. Bentuk cos x = cos a dan cos x = p
Jika dipunyai persamaan cos x = cos a, maka penyelesaiannya adalah:
(i)    x = a + k.360o 
(ii)   x = –a + k.360o
 dengan k bilangan bulat

Perhatikan rujukan berikut.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 3x = cos 60o , untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
cos 3x = cos 60o
(i) 3x =  60o + k.360o
     x = 20o + k.120o
     Untuk k = 0, maka x = 20o
               k = 1, maka x = 140o
               k = 2, maka x = 260o
(ii) 3x =  -60o + k.360o
      x =  -20o + k.120o
     Untuk k = 0, maka x = -20o
               k = 1, maka x = 100o
               k = 2, maka x = 220o
               k = 3, maka x = 340o
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { 20o, 100o, 140o, 220o, 260o, 340o }

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (2x - 30o) = cos 80o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
cos (2x - 30o) = cos 80o
(i) 2x - 30o =  80o + k.360o
     2x =  (80o + 30o) + k.360o
     2x =  110o + k.360o
     x = 55o + k.180o
     Untuk k = 0, maka x = 55o
               k = 1, maka x = 235o
(ii) 2x - 30o =  -80o + k.360o
     2x =  (-80o + 30o) + k.360o
     2x =  -50o + k.360o
     x = -25o + k.180o
     Untuk k = 0, maka x = -25o
               k = 1, maka x = 155o
               k = 2, maka x = 335o        
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { 55o, 155o, 235o, 335o}.






3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (3x - 45o) = 1/2, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
cos (3x - 45o) = 1/2
cos (3x - 45o) = cos 60o

(i) 3x - 45o =  60o + k.360o
     3x =  (60o + 45o) + k.360o
     3x =  105o + k.360o
     x = 35o + k.120o
     Untuk k = 0, maka x = 35o
               k = 1, maka x = 155o
               k = 2, maka x = 275o

(ii) 3x - 45o =  -60o + k.360o
     3x =  (-60o + 45o) + k.360o
     3x =  -15o + k.360o
     x = -5o + k.120o
     Untuk k = 0, maka x = -5o
               k = 1, maka x = 115o
               k = 2, maka x = 235o
               k = 3, maka x = 355o        
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { 35o, 115o, 135o, 235o, 275o, 355o}.


3. Bentuk tan x = tan a dan tan x = p
Jika dipunyai persamaan tan x = tan a, maka penyelesaiannya adalah:
(i)    x = a + k.180o 
dengan k bilangan bulat

Perhatikan rujukan berikut.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 3x = tan 48o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
tan 3x = tan 48o
(i) 3x =  48o + k.180o
     x = 16o + k.60o
     Untuk k = 0, maka x = 16o
               k = 1, maka x = 76o
               k = 2, maka x = 136o
               k = 3, maka x = 196o        
               k = 4, maka x = 256o        
               k = 5, maka x = 316o        
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni { 16o, 76o, 136o, 196o, 256o, 316o }.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan (2x – 40o)= tan 60o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
tan (2x – 40o)= tan 60o
(i) 2x – 40o =  60o + k.180o
     2x =  (60o + 40o)+ k.180o
     2x =  100o + k.180o
     x =  50o + k.90o
     Untuk k = 0, maka x = 50o
               k = 1, maka x = 140o
               k = 2, maka x = 230o
               k = 3, maka x = 320o        
     Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni {50o, 140o, 230o, 320o}.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan (3x + 15o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
 Jawaban:
tan (3x + 15o) = 1
tan (3x + 15o) = tan 45o
(i) 3x + 15o =  45o + k.180o
     3x =  (45o - 15o)+ k.180o
     3x =  30o + k.180o
     x =  10o + k.60o
     Untuk k = 0, maka x = 10o
               k = 1, maka x = 70o
               k = 2, maka x = 130o
               k = 3, maka x = 190o        
               k = 4, maka x = 250o        
               k = 5, maka x = 310o        
    Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni {10o, 70o, 130o, 190o, 250o, 310o}.

Langkah-langkah penyelesaian di atas merupakan dasar-dasar dalam menuntaskan persamaan trigonometri.  Perlu diketahui bahwa persamaan trigonometri bukan hanya berbentuk menyerupai di atas, melainkan masih banyak bentuk yang lainnya. Baik itu yang berbentuk kuadrat, atau bentuk pecahan.
Untuk itu, tanamkan pemahaman langkah-langkah  menyelesaikan persamaan trigonometri di atas. Jika kau menguasai cara  tersebut, maka penyelesaian persamaan trigonometri bentuk lain akan gampang diselesaikan.



Materi Terkait
Menyelesaikan Trigonometri Sudut Ganda dan Trigonoometri Setengah Sudut

Sumber http://imathsolution.blogspot.com