Kali ini kita akan membahas wacana penggunaan Turunan Fungsi dalam memilih persamaan garis singgung ataupun memilih gradiennya. Sebelum memilih persamaan garis singgung suatu kurva di sebuah titik kita pelajari dahulu memilih gradien garis singgung.
Misalkan kita mempunyai kurva dengan persamaan y = f(x). Jika dipunyai titik pada kurva tersebut, katakan saja titik (a, b), maka gradien garis singgung di titik tersebut yakni m = y’ = f’(a).
Contoh 1
Tentukan gradien garis singgung y = x2 + 5x + 4 di titik (1,10)
Jawaban:
y = x2 + 5x + 4, maka y’ = 2x + 5
Untuk x = 1, maka f’(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7
Jadi, gradien garis singgungnya yakni 7.
Contoh 2
Tentukan gradien garis singgung y = 2x2 – 6x + 9 di titik (2, 5)
Jawaban:
y = 2x2 – 6x + 9, maka y’ = 4x – 6
Untuk x = 2, maka f’(2) = 4(2) – 6 = 8 – 6 = 2
Jadi, gradien garis singgungnya yakni 2.
Contoh 3
Tentukan gradien garis singgung y = x3 + 3x2 – 8x + 15 di titik yang berabsis -2.
Jawaban:
y = x3 + 3x2 – 8x + 15, maka y’ = 3x2 + 6x – 8
Berabsis -2, berarti x = -2,
maka f’(1) = 3(-2)2 + 6(-2) – 8 = 12 – 12 – 8 = -8
Jadi, gradien garis singgungnya yakni -8.
Contoh 4
Diketahui kurva y = 2x2 + px + 15 mempunyai gradien 6 di titik x = -1. Tentukan nilai p.
Jawaban:
y = 2x2 + px + 15, maka y’ = 4x + p
Untuk x = -1, mempunyai gradien 6.
maka f’(-1) = 6
4(-1) + p = 6
-4 + p = 6
p = 10
Jadi, nilai p yakni 10.
Contoh 5
Diketahui kurva y = 2x3 – px2 + 9x mempunyai gradien 3 di titik berabsis 1. Tentukan nilai p.
Jawaban:
y = 2x3 – px2 + 9x, maka y’ = 6x2 – 2px + 9
Untuk x = 1, mempunyai gradien 3.
maka f’(1) = 3
6 × (1)2 – 2(1)p + 9 = 3
6 – 2p + 9 = 3
-2p = -12
p = 6
Jadi, nilai p yakni 6.
Nah, sesudah memilih gradien garis singgung kurva dengan memakai turunan fungsi, mari kita lanjutkan memilih persamaan garis singgung kurva.
Dalam memilih persamaan garis singgung kurva yang perlu diketahui yakni titik singgung dan gradien. Sebab intinya garis singgung berupa garis lurus. Jadi, perlu dikatahui titik dan gradien garis.
Kemudian sesudah menemukan kedua unsur tersebut, kita masukkan ke dalam rumus terkenal berikut.
y – y1 = m(x – x1)
Lebih jelasnya perhatikan pola berikut ini.
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x + 5 yang melalui titik (1, 2).
Jawaban:
y = x2 – 4x + 5
y’ = 2x – 4
Grafik melalui (1, 2), sehingga:
Gradien garis (m) = 2(1) – 4 = -2
Persamaan garis yang melalui (1, 2) dan bergradien -2 adalah:
y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = -2 (x – 1)y – 2 = -2x + 2y = -2x + 4 Jadi, persamaan garis singgung yakni y = -2x + 4.
Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (2x + 1)2 – 5 yang melalui titik dengan absis -2.
Jawaban:
y = (2x + 1)2 – 5
y' = 2(2x + 1).2
= 4(2x + 1)
Grafik melalui absis -2 (x = -1), sehingga:
y = (2(-2) + 1)2 – 5
= (-3)2 – 5
= 4
Diperoleh titik (-2, 4)
Gradien garis singgung yang melalui (-2, 4) yakni m = 4(2(-2) + 1) = -12
Persamaan garis yang melalui (-2, 4) dan bergradien -12 adalah:
y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = -12(x + 2)
y – 4 = -12x - 24
y = -12x + 20
Jadi, persamaan garis singgung yakni y = -12x + 20.
Contoh 3
Diketahui kurva y = 3x2 + 2x – 4 memotong sumbu Y di titik A. Tentukan persamaan garis singung yang melalui titik A.
Jawaban:
Titik potong kurva y = 3x2 + 2x – 4 terhadap sumbu Y (x = 0)
y = 3(0)2 + 2(0) – 4
y = 4
Titik potongnya yakni (0, 4)
Gradien garis singgung di titik (0, 4)
y' = 6x + 2
m = y' = 6(0) + 2 = 2
Persamaan garis singgung yang melalui titik (0, 4) dan bergradien 2
y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = 2(x - 0)
y – 4 = 2x - 0
y – 2x – 4 = 0
Jadi, persamaan garis singgung yakni y – 2x – 4 = 0.
Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + x – 4 di titik yang berordinat 8.
Jawaban:
Titik potong kurva y = x2 + x – 4 di titik yang berordinat 8 (y = 8)
y = x2 + x – 4
8 = x2 + x – 4
x2 + x – 12 = 0
(x + 4)(x – 3) = 0
x = -4 atau x = 3
Diperoleh koordinat (-4, 8) dan (3, 8)
Gradien garis singgung yakni m = y' = 2x + 1
Gradien garis di titik (-4, 8) yakni m = 2(-4) + 1 = -7
Persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – 8 = -7(x – (-4))
y – 8 = -7x – 28
y = –7x – 20
Gradien garis di titik (3, 8) yakni m = 2(3) + 1 = 7
Persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y – 8 = 7(x – 3)
y – 8 = 7x – 21
y = 7x – 13
Jadi, persamaan garis singgung yakni y = –7x – 20 dan y = 7x – 13.
Contoh 5
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 6x – 8 yang sejajar dengan garis y – 2x + 3 = 0.
Jawaban:
Kurva y = x2 + 6x – 8 mempunyai gradien garis singgung di setiap titik sebagai berikut.
m = y' = 2x + 6.
Garis y – 2x + 3 = 0 mempunyai gradien 2.
Titik singgung yang mempunyai gradien 2 sebagai berikut
y' = 2
2x + 6 = 2
2x = -4
x = -2
Sehingga diperoleh nilai y = (-2)2 + 6(-2) – 8 = 8
Dengan demikian titik singgungnya yakni (-2, -12)
Persamaan garis singgung yang sejajar garis y – 2x + 3 = 0 (m = 2) di titik (-2, -12)
Persamaan garis
y – y1 = m(x – x1)
y – (-12) = 2(x – (-2))
y + 12 = 2x + 4
y = 2x – 8
Jadi, persamaan garis singgung yakni y = 2x – 8.
Demikianlah sekilas bahan singkat wacana cara memilih gradien dan persamaan garis singgung pada kurva memakai turunan fungsi.
Semoga bermanfaat.
Artikel Terkait
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Kurva pada Interval Tertutup Menggunakan Turunan Fungsi
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Suatu Kurva Menggunakan Turunan Fungsi
Artikel Terkait
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Kurva pada Interval Tertutup Menggunakan Turunan Fungsi
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Suatu Kurva Menggunakan Turunan Fungsi
Sumber http://imathsolution.blogspot.com