Pada kesempatan ini kita akan membahas wacana penggunaan turunan dalam memilih nilai maksimum atau minimum dalam interval tertutup. Misalnya pada permasalahan berikut.
Tentukan nilai maksimum dari fungsi-fungsi berikut.
1. y = x2 + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2
2. y = x2 - 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5
3. y = 2x2 - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8
4. y = x3 + 6x2 – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3
5. y = 2x3 - 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1
Kita tahu bahwa grafik fungsi bentuk kuadrat atau berderajat lebih pada umumnya mempunyai klimaks maupun titik belok. Pada interval tertentu, grafik fungsi akan mempunyai nilai tertinggi (maksimum) atau nilai terendah (minimum).
Ketik diwujudkan dengan gambar, maka kita akan melihat dengan terperinci nilai-nilai dimana kurva akan maksimum maupun minimum.
Coba perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut.
Grafik di atas ialah y = x2 – 2x – 5.
1. Jika tidak dibatasi dengan batasan nilai x,
Nilai minimumnya ialah -6(pada titik balik minimum x = 1)
Nilai maksimumnya ialah tak terhingga
2. Pada interval -1 ≤ x ≤ 2,
Nilai minimumnya ialah -6 pada titik x= 1
Nilai maksimumnya ialah -2 pada titik x = -1
3. Pada interval 0 ≤ x ≤ 2
Nilai minimumnya ialah -6 pada titik x = 1
Nilai maksimumnya ialah -5 pada titik x = 2.
4. Pada interval 2 ≤ x ≤ 4
Nilai minimumnya ialah -5 pada titik x = 2
Nilai maksimumnya ialah 3 pada titik x = 4
Perhatikan lagi gambar kurva berikut.
Grafik di atas ialah y = x3 – 3x + 1.
1. Jika tidak dibatasi dengan batasan nilai x,
Nilai minimumnya ialah min tak terhingga
Nilai maksimumnya ialah tak terhingga
2. Pada interval -2 ≤ x ≤ 0,
Nilai minimumnya ialah -1 pada titik x = -2
Nilai maksimumnya ialah 3 pada titik x = -1
3. Pada interval -1 ≤ x ≤ 1
Nilai minimumnya ialah -1 pada titik x = 1
Nilai maksimumnya ialah 3 pada titik x = -1.
4. Pada interval 0 ≤ x ≤ 2
Nilai minimumnya ialah -1 pada titik x = 1
Nilai maksimumnya ialah 3 pada titik x = 2.
Kadang kala pada suatu titik dapat menjadi maksimum pada interval tertentu. Namun, dapat saja akan menjadi nilai minimum ketika interval kita ubah. Makanya dalam konteks ini dinamakan nilai maksimum dan nilai minimum relatif.
Ketika kita mengamati kurva, maka akan gampang kita memilih nilai maksimum dan minimum. Nah, bagaimana kalau kita membaca atau memilih nilai maksimum/minimum relatif pada interval tertentu (Tertutup) tanpa adanya menu gambar?
Untuk mengatasi permasalahan wacana maksimum dan minimum, maka ada konsep/materi turunan fungsi sebagai solusinya.
Bagaimana cara memakai turunan fungsi dalam menuntaskan permasalahan ini? Mari kita bahas di sini.
Materi ini ialah lanjutan dari bahan turunan wacana grafik naik dan grafik turun. Oleh alasannya ialah pentingnya bahan ini, mari kita bahas satu persatu permasalahan wacana nilai maksimum/minimum suatu kura pada interval tertutup.
Coba simak lagi permasalahan di atas. KIta selesaikan satu persatu.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari persamaan kurva berikut yang dibatasi pada interval tertentu.
1. y = x2 + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2
Jawaban
y = x2 + 4x – 7, maka y’ = 2x + 4
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.
Maka:
2x + 4 = 0
2x = -4
x = -2
Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 2.
Untuk memilih nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada ketika y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.
Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -3, -2, dan 2.
Kita hitung satu persatu.
f(x) = y = x2 + 4x – 7
f(-3) = (-3)2 + 4(-3) – 7 = 9 – 12 – 7 = -10
f(-2) = (-2)2 + 4(-2) – 7 = 4 – 8 – 7 = -11 (minimum)
f(2) = 22 + 4(2) – 7 = 4 + 8 – 7 = 5 (maksimum)
Jadi, kurva/grafik y = x2 + 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2 mempunyai nilai maksimum 5 dan nilai minimum -11.
2. y = x2 - 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5
Jawaban
y = x2 - 6x + 8, maka y’ = 2x - 6
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.
Maka:
2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3
Perhatikan bahwa x = 3 terletak pada interval -1 ≤ x ≤ 5.
Untuk memilih nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada ketika y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.
Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -1, 3, dan 5.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = x2 - 6x + 8
f(-1) = (-1)2 - 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15
f(3) = (3)2 - 6(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1
f(5) = 52 - 6(5) + 8 = 25 – 30 + 8 = 3
Jadi, kurva/grafik y = x2 - 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5 mempunyai nilai maksimum 15 dan nilai minimum -1.
3. y = 2x2 - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8
Jawaban
y = 2x2 - 8x + 1, maka y’ = 4x - 8
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.
Maka:
4x - 8 = 0
4x = 8
x = 2
Perhatikan bahwa x = 2 terletak pada interval 1 ≤ x ≤ 8.
Untuk memilih nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada ketika y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.
Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = 1, 2, dan 8.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = 2x2 - 8x + 1
f(1) = 2(1)2 - 8(1) + 1 = 2 – 8 + 1 = -5
f(2) = 2(2)2 - 8(2) + 1 = 8 – 16 + 1 = -7
f(8) = 2(8)2 - 8(8) + 1 = 128 – 64 + 1 = 65
Jadi, kurva/grafik y = 2x2 - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 mempunyai nilai maksimum 65 dan nilai minimum -7.
4. y = x3 + 6x2 – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3
Jawaban
y = x3 + 6x2 – 15x + 6, maka y’ = 3x2 + 12x – 15
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.
Maka:
3x2 + 12x – 15 = 0
x2 + 4x – 5 = 0
(x + 5)(x – 1) = 0
x = -5 atau x = 1
Perhatikan bahwa x = 1 terletak pada interval -2 ≤ x ≤ 3. Sedangkan x = -5 tidak masuk dalam interval.
Untuk memilih nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada ketika y’ = 0 (yang masuk dalam interval) dan nilai x pada batas-batas intervalnya.
Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -2, 1, dan 3.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 6
f(-2) = (-2)3 + 6(-2)2 – 15(-2) + 6 = -8 + 24 + 30 + 6 = 52
f(1) = (1)3 + 6(1)2 – 15(1) + 6 = 1 + 6 – 15 + 6 = -2
f(3) = (3)3 + 6(3)2 – 15(3) + 6 = 27 + 54 - 45 + 6 = 42
Jadi, kurva/grafik y = 2x2 - 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 mempunyai nilai maksimum 52 dan nilai minimum -2.
5. y = 2x3 - 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1
Jawaban
y = 2x3 - 24x + 15, maka y’ = 6x2 - 24
Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.
Maka:
6x2 – 24 = 0
x2 – 4 = 0
(x + 2)(x – 2) = 0
x = -2 atau x = 2
Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 1. Sedangkan x = 2 tidak masuk dalam interval.
Untuk memilih nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada ketika y’ = 0 (yang masuk dalam interval) dan nilai x pada batas-batas intervalnya.
Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -3, -2, dan 1.
Kita hitung satu persatu.
y = f(x) = 2x3 - 24x + 15
f(-3) = 2(-3)3 - 24(-3) + 15 = -54 + 72 + 15 = 33
f(-2) = 2(-2)3 - 24(-2) + 15 = -16 + 48 + 15 = 47
f(1) = 2(1)3 - 24(1) + 15 = 2 – 24 + 15 = -7
Jadi, kurva/grafik y = 2x3 - 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1 mempunyai nilai maksimum 47 dan nilai minimum -7.
Demikianlah sekilas bahan wacana cara memilih nilai maksimum dan minimum suatu kurva pada interval tertutup memakai turunan fungsi.
Semoga yang sedikit ini dapat menunjukkan manfaat.
Salam Sukses.
Artikel Terkait
Menentukan Interval Nilai x pada Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan
Menentukan Gradien dan Garis Singgung Kurva Menggunakan Turunan Fungsi
Sumber http://imathsolution.blogspot.com