Dalam kehidupan sehari-hari kita seringkali berhadapan dengan kondisi yang mempunyai dua kemungkinan, contohnya seorang ibu melahirkan bayi yang terlahir bisa laki-laki atau perempuan, ketika kita melempar sebuah dadu bilangan yang muncul bisa ganjil atau genap, ketika kita melempar sebuah koin, yang muncul bisa gambar atau angka, ketika siswa ujian kesannya bisa lulus atau tidak lulus. Dalam studi peluang, banyak sekali kondisi yang mempunyai dua kemungkinan disebut sebagai percobaan binomial atau eksperimen binomial.
Binomial terdiri dari dua suku kata yaitu bi yang artinya dua dan nomial yang sanggup diartikan sebagai kondisi. Dengan demikian, binomial merupakan kondisi yang mempunyai dua kemungkinan, yaitu "berhasil" atau "gagal".
Misalnya, ketika kita melempar sebuah koin sebanyak 10 kali dan kita ingin menghitung peluang dari 10 kali pelemparan tersebut sebanyak 5 kali pelemparan kita memperoleh gambar. Kejadian tersebut merupakan salah satu teladan bencana yang memerlukan formula peluang binomial yang akan kita pelajari pada goresan pena ini. Pada kondisi tersebut, kondisi dimana koin pertanda gambar bisa kita anggal sebagai konisi "berhasil" maka ketika koin pertanda angka bisa kita anggal sebagai kondisi "gagal".
Rumus Peluang (Distribusi) Binomial
untuk percobaan binomial, dimana peluang sukses ialah $p$ dan peluang gagal ialah $q$ untuk setiap percobaan dimana $q=1-p$, maka probabilitas sukses sebanyak $x$ dari $n$ percobaan adalah: $$P(x,n)=C(n,x)\times p^{x}\times q^{n-x}$$
Keterangan:
$C(n,x)=\frac{n!}{(n-x)!.x!}$
untuk lebih memahaminya perhatikan beberapa teladan soal beserta pembahasan berikut ini:
Contoh 1 (UN 2015 Program IPA)
Seorang penjaga gawang profesional bisa menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang bisa menahan 3 kali tendangan penalti tersebut ialah ....
A. $\frac{180}{625}$
B. $\frac{612}{625}$
C. $\frac{216}{625}$
D. $\frac{228}{625}$
E. $\frac{230}{625}$
Pembahasan:
Pada bencana di atas kondisi "sukses" ialah keadaan dimana penjaga gawang bisa menahan tendangan, peluang sukses $p=\frac{3}{5}$, maka peluang "gagal" ialah $q=1-p=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.
Peluang penjaga gawang bisa menahan 3 kali tendangan $(x=3)$ dari 5 kali tendangan $(n=5)$ adalah:
$\begin{align*}P(x=3, n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times \left(\frac{2}{5}\right)^{5-3}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{3}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\\&=10\times\left(\frac{27}{125}\right)\times\left(\frac{4}{25}\right)\\&=\frac{216}{625}\end{align*}$
Contoh 2 (SIMAK UI)
Peluang mendapat satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu ialah ....
A. $\frac{5}{246}$
B. $\frac{5}{36}$
C. $\frac{25}{46}$
D. $\frac{25}{72}$
E. $\frac{135}{432}$
Pembahasan:
kemungkinan jumlah mata dadu 7:
$\left\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\right\}$ ada 6 kemungkinan
banyak semua kemungkinan ialah $6\times 6=36$
dengan demikian peluang sukses (jumlah mata dadu 7) ialah $p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
peluang gagal (jumlah mata dadu bukan 7) ialah $q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
Peluang mendapat satu kali $(x=1)$ dadu jumah 7 dari 3 kali $(n=3)$ pelemparan adalah:
$\begin{align*}P(x=1,n=3)&=C(3,1)\times\left(\frac{1}{6}\right)^{1}\times\left(\frac{5}{6} \right)^{3-1}\\&=\frac{3!}{2!.1!}\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\&=3\times\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{25}{36}\right)\\&=\frac{25}{72}\end{align*}$
Contoh 3
Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi rubela ialah $0,2$. Pada suatu hari di puskesmas Cempaka ada 4 orang bayi, peluang dari bayi tersebut 3 orang belum diimunisasi rubela ialah ....
A. $0,0128$
B. $0,0256$
C. $0,0512$
D. $0,1240$
E. $0,2480$
Pembahasan:
peluang tidak diimunisasi ialah $p=0,2$
peluang diimunisasi ialah $q=1-p=1-0,2=0,8$
Peluang 3 dari 4 bayi belum diiunisasi ialah :
$\begin{align*}P(x=3, n=4)&=C(4,3)\times (0,2)^{3}\times (0,8)^{4-3}\\&=\frac{4!}{1!.3!}\times(0,008)\times (0,8)\\&=0,0256\end{align*}$
Contoh 4
Sebuah koin dilempar 5 kali. Peluang mendapat sisi gambar sempurna 3 kali ialah ....
A. $\frac{6}{54}$
B. $\frac{10}{32}$
C. $\frac{8}{36}$
D. $\frac{5}{18}$
E. $\frac{3}{18}$
Pembahasan:
Peluang mendapat gambar pada setiap pelemparan ialah $p=\frac{1}{2}$
Peluang mendapat angka pada setiap pelemparan ialah $q=1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Peluang sempurna 3 kali sanggup gambar dari 5 kali pelemparan adalah:
$\begin{align*}P(x=3,n=5)&=C(5,3)\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\&=\frac{5!}{2!.3!}\times\left(\frac{1}{8}\right)\times\left(\frac{1}{4}\right)\\&=10\times\frac{1}{8}\times\frac{1}{4}\\&=\frac{10}{32}\end{align*}$
Demikianlah beberapa teladan soal dan pembahasan bahan distribusi binomial. biar bermanfaat
Sumber http://www.m4th-lab.net
