√ Kombinatorik

A.    KAIDAH PENCACAHAN

1.      Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)

Jika terdapat n buah kawasan yang tersedia, dengan:

k1 = banyaknya cara untuk mengisi kawasan pertama

k2 = banyaknya cara untuk mengisi kawasan kedua sesudah kawasan pertama terisi

k3 = banyaknya cara untuk mengisi kawasan ketiga sesudah kawasan kedua terisi]

kn = banyaknya cara untuk mengisi kawasan ke-n sesudah kawasan ke (n-1) terisi

maka banyaknya cara untuk mengisi n kawasan yang tersedia secara keseluruhan adalah

 k1 x k2 x k3 x … x kn

Contoh 1:

Seseorang mempunyai 3 kemeja dan 2 celana berbeda. Dengan berapa carakah orang tersebut sanggup memakai setelan pakaian?

Jawab:

Kejadian pertama sanggup diisi dengan 3 cara.

Kejadian kedua sanggup diisi dengan 2 cara.

Banyaknya cara yang sanggup terjadi: 3 × 2 = 6 cara

Contoh 2:

Dari lima buah angka 4,5,6,7,8 hendak disusun bilangan genap yang terdiri atas 3 angka. Berapakah banyaknya bilangan yang sanggup disusun kalau bilangan tersebut boleh ada yang sama dan kalau tidak boleh ada yang sama.

Jawab:

Jika boleh ada yang sama:

Angka pertama (ratusan) sanggup menentukan 5 angka

Angka kedua (puluhan) sanggup menentukan 5 angka

Angka ketiga (satuan) sanggup menentukan 3 angka

Jadi banyaknya bilangan genap yang sanggup disusun yaitu 5 ×  5 ×  3 = 75 Bilangan

Jika dihentikan ada yang sama:

Karena dihentikan ada yang sama maka kita dengan satuan

Angka ketiga (satuan) sanggup menentukan 3 angka

Angka kedua (puluhan) sanggup menentukan 4  angka

Angka pertama (ratusan) sanggup menentukan 3 angka

Jadi banyaknya bilangan genap yang sanggup disusun yaitu 3 ×  4 × 3 = 36 Bilangan

2.      Kidah Penjumlahan

Kaidah penjumlahan dilakukan jika  unsur-unsur yang tersedia tidak dipilih atau tidak dipakai secara bersama-sama.

Contoh:

Andi mempunyai 3 mobil,2 sepeda motor, dan 4 sepeda. Ada berapakah banyaknya cara Andi pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut?

Jawab:

Banyaknya cara pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut yaitu 3 + 2 + 4 = 9 cara

3.      Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian dilakukan kalau unsur-unsur yang tersedia dipakai secara bersamaan.

Contoh:

Seseorang hendak bepergian dari kota A ke kota C.

Dari kota A ke kota B terdapat 5 jalan, dan dari kota B ke kota C terdapat 2 jalan. Ada berapakah banyaknya jalur yang dapt ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B?

Jawab:

Banyaknya jalur yang sanggup ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B adalah

5 x 2 =10

B.     PERMUTASI

Secara umum banyaknya permutasi dari n objek diambil r objek dinotasikan nPr atau P(n,r)

P(n,r) = n! / (n-r)!

Dengan catatan r ≤ n

Yang harus diperhatikan dalam permutasi yaitu dalam permutasi Urutan Sangat diperhatikan

(ab ≠ ba).

Notasi n! dibaca n faktorial.

Untuk setiap n bil. Asli didefinisikan:

n! = n × (n-1) ×  (n-2) × (n-3) × … × 3 × 2×1

catatan: 1! = 1 dan 0! = 1

Contoh 1 (permasalahan Permutasi):

Berapakah banyaknya permutasi dari 6  unsur yang diambil 4?

Jawab:

n = 6 dan r = 4, maka:

P(6,4) = 6! / (6-4)! = (6.5.4.3.2.1)/(2.1) = 360

Contoh 2:

Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang dibuat dari angka-angka 3,4 dan 5 ?

Jawab:

P(3,2) = 3! / (3-2)! = 6 bilangan

PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA

Banyaknya permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama  diambil semua, maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / (k! × l! × m!)

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yang sanggup dibuat dari abjad S, A, S ?

Jawab:

n = 3, abjad S = 2, abjad A = 1

P = 3! / 2! = 3 , yaitu kata SAS, SSA dan ASS

jika permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama  diambil r objek. maka banyaknya permutasi adalah:

P = n! / [(n-r)! (k! × l! × m!)]

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yang terdiri dari 2 huruf  yang sanggup dibuat dari abjad S, A, S ?

Jawab:

n = 3, r = 2 ,  abjad S = 2, abjad A = 1

P = 3! /[(3-2)!×2!] = 3 , yaitu kata SA, SS dan AS

PERMUTASI  SIKLIS

Permutasi dari n objek yang berbeda disusun secara melingkar adalah:

P(siklis) = (n - 1) !

Contoh:

Angga, Ana, Rizka, dan Frida akan mengadakan mencar ilmu bersama pada sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka sanggup duduk mengelilingi meja tersebut?

Jawab:

n = 4

maka;

P= (4-1)! = 3! = 6 cara

C.    KOMBINASI

Kombinasi yaitu suatu susunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur tanpa memperhatikan urutannya.

Secara umum banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda diambil r objek yangberbeda sanggup dinotasikan dengan;

C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]

Dengan catatan r ≤ n

Contoh:

Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengambilan kalau kelereng yang diambil:

- ketiganya berwarna merah

- 2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning

- banyaknya pengambilan dengan warna bebas

 Jawab:

-          Ketiganya berwarna merah

C(7,3) = 7! / [(7-3)! 3!] = 35

-          2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning

C(7,2) × C(5,1) = [7!/(5!×2!)]×[5!/(4!×1!) = 105

-          banyaknya pengambilan dengan warna bebas

C(12,3) = 12! / (9!×3!) = 220

Sumber http://www.m4th-lab.net

√ Memilih Jumlah Deret Aritmetika Bertingkat

Misalkan ada barisan $u_1, u_2, u_3, \cdots, u_n$ merupakan barisan dengan selisih tidak konstan. tetapi apabila diambil $D_1(n)=S_n-S_{(n-1)}$ kemudian $D_2(n)=D_1(n)-D_1(n-1)$ dan seterusnya hingga pada suatu ketika $D_k(n)=D_{k-1}(n)-D_{k-1}(n-1)$ bernilai konstan. Maka sanggup kita ambil kesimpulan bahwa rumus jumlah $n$ suku pertama $S_n$barisan tersebut merupakan polinomial pangkat $k$.

Contoh:
Diketahui barisan 3, 6, 10, 15, 21, ... tentukan jumlah n suku pertama $S_n$ !

Solusi:
Jika kita perhatikan barisan bilangan 3, 6, 10, 15, 21, ... bukanlah merupakan barisan aritmetika alasannya yaitu selisihnya tidak konstan. Namun jikalau kita perhatikan selisihnya sebagai berikut:

atau sanggup kita tulis dalam tabel sebagai berikut:

ternyata pada tingkatan ketiga atau pada tabel $D_3(n)$ selisihnya konstan. maka sanggup disimpulkan bahwa jumlah suku ke $n$ atau $S_n$ barisan tersebut merupakan polinomial berderajat 3. 

misalkan : 

$S_n=an^3+bn^2+cn+d$

maka kita peroleh:

Dari kedua tabel didapat bahwa:

dari persamaan (1) diperoleh :

dari persamaan (2) diperoleh

dari persamaan (3) diperoleh

dari persamaan ke (4)












maka persamaan jumlah deret tersebut adalah






Jika Anda sudah memahami langkah-langkah memilih jumlah deret aritmatika bertingkat ibarat yang dijelaskan di atas, anda boleh mencoba menuntaskan soal berikut:

Pembahasannya d0wnl0ad disini

Baca juga: Konsep barisan aritmetika bertingkat

Sumber http://www.m4th-lab.net

√ Mathsmagic: Multiplication Showing Double Digit Dexterity

Most people can do a speedy multiply by 10. You just add a zero to the end of the number – 23 multiplied by 10 is 230, simple. Now you can prove your superior mental superpowers by speedy multiplication of any two-digit number by 11. You explain to the audience that this is clearly far more difficult. They have the calculators on their mobile phones ready to check, but you do your calculations correctly before they even start to click the keys.

Imagining the 11 times trick

To give us this superpower, we make use of two things. One is maths and the other is the human brain’s power of imagination.

To do a lightning calculation multiplying any two-digit number by 11, you need to use some visual imagery and use your imagination. Let’s take the number 52 for example. Now imagine a space between the two digits, so in your minds eye you imagine 5  2. Add the two numbers together and imagine putting the sum of them in the gap in the middle, so you see 5(5+2)2. And that is it, you have the answer: 11x 2 = 5(7)2= 572.

The double trouble trick

But what if the numbers in the gap add up to a double digit? For example, suppose you want to multiply 98 by 11. So, you imagine 9 (9+8) 8. But that bit in gap in the middle gives you 9+8=17, so where do you put these digits? 9 (17) 8?

Easy, just leave the second number (here the 7) in the gap as before and imagine moving the 1 up a place, so you have (9+1) 7 9 = 10 7 9 = 1079. Correct again.

The maths behind this is fairly easy if you explore it. Suppose you have the number AB (that’s A tens and B ones) and you want to multiply by 11. First you multiply by 10. That’s easy, 10xAB = AB0 (A hundreds, B tens and 0 ones). Then you add another AB so you’ve got 11 lots of AB altogether, giving you A hundreds, (B+A) tens and (0+B) ones.

This is exactly what all that sliding numbers around in your imagination has been doing without knowing it. Of course, if the middle A+B is more than 10 (ie it’s a double digit number), you just slide the first digit up to the hundreds column, and it’s sorted.

Lightning calculations by mind power and a maths trick. Mathematicians make use of their imaginations all the time. Our brains are really good at imagining things and creating pictures in our heads. Often that’s the way we solve tricky problems or come up with clever visual imagination tricks like this one.

Sumber http://www.m4th-lab.net

√ Mathsmagic : Multiplication And Addition Doing Fibonacci’S Lightning Calculation

On a piece of paper, write the number 1 to 10 in a column. You are now all set to amaze with the speed at which you can add ten numbers.

Ask your friend to choose any two two-digit numbers and write the numbers down in the first two spaces of your column, one under the other. Your friend then makes a third number by adding these first two numbers together and writes it below the first two, in effect starting a chain of numbers. They make a fourth number by adding the second and third, a fifth by adding the third and fourth, and so on, until your column of ten numbers is full.

To show how brilliant you are, you can turn away once your friend has understood the idea, say after the seventh number in the list. Now you can’t even see the numbers being written.

Meanwhile, with your back turned, you are actually multiplying that seventh number by 11 to get the simpulan answer.

Let’s imagine your friend chose 16 and 21 to start with. The list would look like this:

You now turn round and write the sum of all ten numbers straight away! Lightning quick, you say it is 2728. Let them do it slowly on a calculator to show your brilliant mind skills are 100 per cent correct. The simpulan answer just involves multiplying the seventh number by 11. Why?

Well this chain of numbers where the next term is made by adding the previous two terms is called a Fibonacci sequence. Fibonacci sequences have special mathematical properties that most folk don’t know about…

So let’s look at the trick. We start with the two numbers A and B. The next number is A+B, the next number is B added to A+B which is A+2B and so on. Going through the number chain we find:

  

Adding up all 10 numbers in the chain gives us a grand total of 55A+88B – check it yourself. But look at the seventh number in your column… this line is 5A+8B. It is exactly the total of the chain but divided by 11!

So working backwards, you can get the simpulan total by multiplying the seventh term by 11. And the maths proves this lightning calculation will work for any two starting values A and B.

It is up to you to present this trick in such a way that it looks like you are just very, very clever. Which of course you are, as you now know how to use a Fibonacci sequence for magic.

Sumber http://www.m4th-lab.net

√ Mathsmagic : Division The Fast Five Trick

Look all around, fives are everywhere. Five fingers, five toes. Now think about division. Divide by 10? Easy you say – just move the decimal point one place to the left. But by 5? Far more of a challenge! Now you can impress your friends with your ability to divide any number by 5 at super speed - and do the calculation correct to three decimal places!

Not a lot of people know this, but dividing a large number by 5 can actually be done by a very simple two-step method.

Step 1 : multiply the number by 2.

Step 2 : move the decimal point.

That’s all there is to it.

Now you can impress you friends with your ability to divide any number by 5 at super speed.

Of course, your claim to do the calculation correct to ‘three decimal places’ is just presentation to make it sound more impressive. It’s really easy. All you do is get the answer, say 23.7, and add two zeros after the 7 to give 23.700. So that’s the answer right to three decimal places as you promised. Our maths proof below will actually show us that we will only ever get an answer with one decimal place. The rest is just magical flim-flam!

It is always a good idea to start easy with a simple example to test our method works so let’s look at 10 divided by 5. First, our method says we double the number, so doubling 10 we get 20. Then we shift the decimal point, so 20 now becomes 2.0 or 2. The answer’s correct. Good start.

Now for a harder example, say 190 divided by 5 . This looks tough without a calculator, but following our method, step [1], double 190 to get 380, and step [2], move the decimal point, so 380 becomes 38.0 or just plain old 38.

Harder still: how about 4567 divided by 5. Again, step [1], double the number, so we have 4567 x 2 = 9134. Then step [2], shift the decimal point to get 913.4. It’s correct - check with a calculator if you don’t believe it.

And lets get silly: 123456789 divided by 5. Step [1], double it, so 2 x 123456789 = 246913578. Step [2], shift the decimal point and the answer is 24691357.8. (You may really want to check this on a calculator!)

Sumber http://www.m4th-lab.net

√ Memilih Banyaknya Faktor Nyata Suatu Bilangan Asli

Misalnya kita akan menentukan banyaknya faktor positif dari 180 mungkin cara/ide yang terlintas di fikiran kita yaitu dengan cara mendaftar bahwa faktor positif dari 180 yaitu  1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180. dari daftar tersebut kita sanggup melihat ternyata banyaknya faktor positif dari 180 yaitu 18 faktor. Cara ini tidak salah, namun kurang efisien alasannya yaitu akan memakan waktu yang lebih usang dan tentu mempunyai tingkat kekeliruan yang lebih tinggi (beresiko ada faktor yang terlewat ketika mendaftar).

Baiklah, kini kita akan gunakan cara yang lain. Jika kita perhatikan faktorisasi prima dari 180 yaitu maka kita sanggup menyatakan setiap faktor tersebut dalam bentuk  dengan a = 0, 1, 2 , b = 0, 1, 2 dan c = 0, 1.  Selanjutnya, kita gunakan aturan perkalian.

Dari faktorisasi prima di atas, kita sanggup melihat bahwa untuk menentukan banyaknya faktor positif dari 180  dapat dilakukan dengan tiga langkah :

pertama, memilih pangkat dari 2 sanggup dilakukan dengan 3 cara

kedua, memilih pangkat dari 3 sanggup dilakukan dengan 3 cara

ketiga, memilih pangkat dari 5 sanggup dilakukan dengan 2 cara

sehingga dengan hukum perkalian, banyaknya faktor positif dari 180 adalah .

Cara menghitung banyaknya faktor positif dari sembarang bilangan orisinil n dapat kita perumum sebagai berikut:

Contoh:

1. Tentukan banyaknya faktor positif dari 12.600
2. Tentukan banyaknya faktor positif genap dari 12.600
3. Tentukan banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600

Jawab:

1. Kita sanggup melihat bahwa faktorisasi prima dari 12.600 adalah 
, jadi banyaknya faktor positif dari 12.600 yaitu :

2. Faktor positif genap dari 12.600 sanggup di nyatakan sebagai  dengan a = 1, 2, 3, b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif genap dari 12.600 adalah:

3. Banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 yaitu banyaknya semua faktor positif dikurangi banyaknya faktor positif genap. Jadi, banyaknya faktor positif ganjil yaitu :

cara lain yaitu dengan menghitung banyaknya kemungkinan bentuk  dengan a = 0,  b = 0, 1, 2, c = 0, 1, 2 dan d = 0, 1, maka banyaknya faktor positif ganjil dari 12.600 yaitu :

Mohon koreksi bila ada kekeliruan (silahkan isi komentar). Semoga bermanfaat

Baca juga : Cara menentukan jumlah semua faktor positif suatu bilangan

Sumber http://www.m4th-lab.net

√ Memilih Jumlah Semua Faktor Kasatmata Suatu Bilangan

Setelah kemarin cara memilih banyaknya faktor lingkaran kasatmata suatu bilangan asli maka pada kesempatan ini MATH-LAB akan mengembangkan cara memilih Jumlah semua faktor lingkaran kasatmata suatu bilangan asli.

Misalnya kita akan memilih jumlah semua faktor kasatmata dari 48, 

faktor-faktor kasatmata dari 48 ialah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 maka jumlah semua faktor lingkaran positifnya adalah: 

Jika bilangannya kecil kita dapat menghitungnya secara manual, maksudnya dengan cara mendaftar kemudian menjumlahkannya, kemudian klo angkanya besar? nah itu akan jadi duduk masalah :)

Baiklah, eksklusif saja MATH-LAB akan mengembangkan cara lain yang tentunya lebih efektif dan efisien untuk memilih jumlah semua faktor lingkaran kasatmata semua bilangan, inilah formula yang akan kita gunakan, perhatikan dan ingat baik-baik :

Sekarang kita coba selesaikan soal yang tadi memakai formula di atas:

Faktorisasi prima dari 48 adalah , maka jumlah semua faktor lingkaran kasatmata dari 48 adalah:

Bisa dilihat hasil yang kita peroleh sama dengan hasil perhitungan dengan cara sebelumnya.

Sekarang kita coba untuk memilih jumlah semua faktor kasatmata dari 12.600.

dari pembahasan sebelumnya disini kita telah mengetahui bahwa 12.600 mempunyai sebanyak 72 faktor positif. 

Faktosisasi prima dari 12.600 adalah , maka jumlah semua faktor kasatmata dari 12.600 adalah

Gampang Kan?!

Oke pada kesempatan kali ini itu saja yang MATH-LAB bagikan, kritik saran atau koreksi silahkan isi komentar atau email ke : denih.handayani@gmail.com

Sumber http://www.m4th-lab.net