√ Teorema Sisa : Pembagian Suku Banyak Oleh Suku Berderajat Dua (Kuadrat)

Setelah di awal bahan kita berguru pembagian suku banyak dengan suku berderajat satu (ax + b), Mari melanjutkan bahan wacana pembagian suku banyak oleh suku banyak berderajat dua (Kuadrat).

Dalam pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua (kuadrat) kita akan memakai pemberian Teorema Sisa. Dengan Teorema sisa kita hanya akan menemukan sisa dari pembagian tersebut.

Bagimana cara memilih pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua ini?

Coba kita perhatikan janji ini.

Jika kita mempunyai suku banyak yang ditulis:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + . . . . + a₁x₁ + a_o

lalu dibagi oleh suku aljabar kuadrat ax² + bx + c atau (px + q)(rx + s), maka memperoleh sisa bentuk aljabarlinear S(x) = mx + n.

Setelah di awal bahan kita berguru pembagian suku banyak dengan suku berderajat satu √ Teorema Sisa : Pembagian Suku Banyak oleh Suku Berderajat Dua (Kuadrat)

Untuk memilih sisa pembagian suku banyak bentuk pertama (pembagi ax² + bx + c yang tidak sanggup difaktorkan), caranya ialah dengan pembagian bersusun.

Adapun untuk memilih sisa pembagian suku banyak bentuk kedua (pembagi yang sanggup difaktorkan), caranya sanggup memakai Teorema sisa.

Lebih jelasnya perhatikan beberapa teladan berikut.

Contoh 1

Suku banyak P(x) dibagi oleh x – 2 mempunyai sisa 7 dan dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 3. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x – 2)(x – 1).

Jawaban:

P(x) dibagi oleh x – 2 mempunyai sisa 7, sehingga P(2) = 7.

P(x) dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 3, sehingga P(1) = 3.

Misalkan dibagi oleh (x – 2)(x – 1) mempunyai sisa pembagian ialah S(x) = mx + n.

Selanjutnya kita memilih m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.

P(2) = S(2), maka 7 = 2m + n atau 2m + n = 7 ....... (1)

P(1) = S(1), maka 4 = m + n atau m + n = 3 ....... (2)

Selesaikan dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)

2m + n = 7

m + n = 3 -

m = 4, dan karenanya diperoleh n = -1.

Substitusikan nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = 4x – 1.

Jadi, suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2)(x – 1) mempunyai sisa 4x – 1.

Contoh 2

Suku banyak P(x) dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa 12 dan dibagi oleh x – 3 mempunyai sisa -13. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3).

Jawaban:

P(x) dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa 12, sehingga P(-2) = 12.

P(x) dibagi oleh x – 3 mempunyai sisa -13, sehingga P(3) = -13.

Misalkan P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3) mempunyai sisa pembagian ialah S(x) = mx + n.

Selanjutnya kita memilih m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.

P(-2) = S(-2), maka 12 = -2m + n atau -2m + n = 12 ....... (1)

P(3) = S(3), maka -13 = 3m + n atau 3m + n = -13 ....... (2)

Selesaikan dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)

-2m + n = 12

3m + n = -13 -

-5m = 25

m = -5

Substitusikan m = -5 ke persamaan -2m + n = 12.

Sehingga -2(-5) + n = 12, atau 10 + n = 12, dan nilai n = 2.

Substitusikan nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = -5x + 2.

Jadi, suku banyak P(x) dibagi oleh (x + 2)(x – 3) mempunyai sisa -5x + 2.

Contoh 3

Suku banyak P(x) dibagi oleh x - 4 mempunyai sisa -3 dan dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 6. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x - 4)(x – 1).

Jawaban:

P(x) dibagi oleh x - 4 mempunyai sisa -3, sehingga P(4) = -3.

P(x) dibagi oleh x – 1 mempunyai sisa 7, sehingga P(1) = 6.

Misalkan P(x) dibagi oleh (x - 4)(x – 1) mempunyai sisa pembagian ialah S(x) = mx + n.

Selanjutnya kita memilih m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut.

P(4) = S(4), maka -3 = 4m + n atau 4m + n = -3 ....... (1)

P(1) = S(1), maka 6 = m + n atau m + n = 6 ....... (2)

Selesaikan dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)

4m + n = -3

m + n = 6 -

3m = -9

m = -3

Substitusikan m = -3 ke persamaan m + n = 6.

Sehingga -3 + n = 6 atau nilai n = 9.

Substitusikan nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = -3x + 9.

Jadi, suku banyak P(x) dibagi oleh (x - 4)(x – 1) mempunyai sisa -3x + 9.

Contoh 4

Suku banyak P(x) dibagi oleh x - 1 mempunyai sisa 6, dibagi oleh x + 1 mempunyai sisa 2, dan dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa -6. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh x² + x - 2.

Jawaban:

P(x) dibagi oleh x - 1 mempunyai sisa 6, sehingga P(1) = 6.

P(x) dibagi oleh x + 1 mempunyai sisa 2, sehingga P(1) = 2.

P(x) dibagi oleh x + 2 mempunyai sisa -6, sehingga P(-2) = -6.

Perhatikan bahwa x² + x – 2 = (x – 1)(x + 2)

Artinya:

Jika P(x) dibagi oleh x² + x – 2 sama nilaianya/maksudnya dengan P(x) dibagi oleh (x – 1)(x + 2).

Nah kini sehabis pembagi sanggup difaktorkan, langkah-langkah pengerjaan menyerupai pada teladan di atas.

Misalkan P(x) dibagi oleh x² + x – 2 (atau dibagi (x – 1)(x + 2)) mempunyai sisa pembagian ialah S(x) = mx + n.

Selanjutnya kita memilih m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut. Kita cukup memilih P(1) dan P(-2) sesuai dengan faktornya saja.

P(1) = S(1), maka 6 = m + n atau m + n = 6 ....... (1)

P(-2) = S(-2), maka -6 = -2m + n atau -2m + n = -6 ....... (2)

Selesaikan dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)

m + n = 6

-2m + n = -6 -

3m = 12

m = 4

Substitusikan m = 4 ke persamaan m + n = 6.

Sehingga 4 + n = 6 atau nilai n = 2.

Substitusikan nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = 4x + 2.

Jadi, suku banyak P(x) dibagi oleh x² + x – 2 memiliki sisa 4x + 2.

Contoh 5

Suku banyak P(x) dibagi oleh x² - 4 mempunyai sisa 2x + 3 dan dibagi oleh x² – 9 mempunyai sisa 3x - 5. Tentukan sisa pembagian apabila P(x) dibagi oleh (x² - x – 6).

Jawaban:

Ingat:

x² – 4 = (x + 2)(x – 2)

x² – 9 = (x + 3)(x – 3)

x² – x - 6 = (x + 2)(x – 3)

P(x) dibagi oleh x² – 4 atau (x + 2)(x – 2) mempunyai sisa 2x + 3, sehingga

P(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1

P(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

P(x) dibagi oleh x² – 9 atau (x + 3)(x – 3) mempunyai sisa 3x - 5, sehingga

P(-3) = 3(-3) - 5 = -9 + 5 = -4

P(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4

Misalkan P(x) dibagi oleh (x² - x – 6) atau (x + 2)(x – 3) mempunyai sisa pembagian ialah S(x) = mx + n.

Selanjutnya kita memilih m dan n dengan cara menyamakan P(x) = S(x) berikut. Kita cukup memilih P(-2) dan P(3) sesuai dengan faktornya saja.

P(-2) = S(-2), maka -1 = -2m + n atau -2m + n = -1 ....... (1)

P(3) = S(3), maka 4 = 3m + n atau 3m + n = 4 ....... (2)

Selesaikan dengan sistem persamaan pada (1) dan (2)

-2m + n = -1

3m + n = 4 -

-5m = -5

m = 1

Substitusikan m = 1 ke persamaan 3m + n = 4.

Sehingga 3(1) + n = 4 atau 3 + n = 4 atau nilai n = 1.

Substitusikan nilai m dan n ke S(x), sehingga menjadi S(x) = x + 1.

Jadi, suku banyak P(x) dibagi oleh x² - x – 6 mempunyai sisa x + 1.

Demikianlah sekilas bahan wacana pembagian suku banyak oleh suku berderajat dua (kuadrat).

Semoga Bermanfaat.

Artikel Terkait