√ Polinomial (Suku Banyak) Bab 1

Untuk kurikulum 2013 bahan polinomial ini di ajarkan pada matematika peminatan kelas XI, insyaAlloh pada goresan pena ini saya akan membahas bahan polinomial secara lengkap. Sebelum kita mulai silakan siapkan dulu cemilan 😀

1. Apakah Polinomial Itu?

Masih ingat dengan fungsi linear dan fungsi kuadrat? kedua fungsi tersebut merupakan tumpuan dari polinomial (suku banyak) dalam satu variabel. Bentuk umum polinomial satu variabel sanggup ditulis sebagai berikut:

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$$

dengan $n$ eksponen dari variabel $x$ dan $n$ merupakan bilangan bundar non negatif.

Karena eksponen harus bilangan bundar non negatif, maka kalau variabel $x$ berpangkat negatif, contohnya $x^{-2}$ atau $\frac{1}{x^{-2}}$ bukan polinomial. Begitu pula kalau varibel $x$ berpangkat pecahan, contohnya $x^{\frac{1}{2}}$ atau $\sqrt{x}$, bukan polinomial. Untuk lebih jelas, perhatikan beberapa tumpuan berikut:

Contoh polinomial:

1. $f(x)=3x^3-2x^2+7x-1$
2. $f(x)=-6x^2-3x+6$
3. $f(x)=5x-1$
4. $f(x)=7$

Contoh bukan polinomial:

1. $f(x)=x^2-6x^{-2}+3$ bukan polinomial, sebab terdapat pangkat variabel bernilai negatif.
2. $f(x)=x^3-2x-\sqrt{x}$ bukan polinomial sebab terdapat pangkat variabel berupa pecahan (akar) 

2. Suku Utama, Derajat, dan Koefisien Utama

Pada polinomial (suku banyak) ada yang disebut dengan suku utama, derajat, dan koefisien utama, berikut ini definisinya:

1. Suku utama adalah suku yang memuat pangkat tertinggi.
2. Derajat adalah nilai pangkat tertinggi.
3. Koefisien utama adalah koefisien dari variaber yang mempunyai pangkat tertinggi

Contoh:
Perhatikan polinomial berikut:
$$f(x)=5x^4-2x^3+7x-10$$
Pada polinomial di atas kita sanggup melihat pangkat tertinggi dari variabel $x$ yaitu $4$, artinya polinomial tersebut berderajat $4$, koefisien dari variabel pangkat tertinggi $(x^4)$ yaitu $5$, dengan demikian $5$ yaitu koefisien utama. Sedangkan suku utama adalah suku yang memuat pangkat tertinggi, yaitu $5x^4$.

3. Menghitung Nilai Polinomial

Misal suatu fungsi kita nyatakan dengan $f(x)$ maka nilai fungsi tersebut untuk $x=k$ yaitu $f(k)$. Perhatikan tumpuan berikut:

Contoh:
Diketahui $f(x)=2x^2-3x+1$, tentukan nilai $f(x)$ untuk $x=2$.

Jawab:
yang perlu kita lakukan hanyalah mensubstitusi nilai $x=2$ ke fungsi $f(x)$

$\begin{align*}f(x)&=2x^2-3x+1\\f(2)&=2(2)^2-3(2)+1\\&=2(4)-3(2)+1\\&=8-6+1\\&=3\end{align*}$
dengan demikian nilai $f(2)=3$

4. Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Dalam menjumlahkan atau mengurangkan polinomial, yang kita jumlahkan atau kita kurangkan yaitu suku-suku yang sejenis. Untuk polinomial satu variabel, yang dimaksud suku-suku sejenis adalah suku-suku dengan pangkat variabel sama. Misalnya, $2x^2$ dengan $7x^2$, $6x^5$ dengan $\frac{1}{2}x^5$ dan sebagainya. 

Contoh:
Diberikan polinomial-polinomial $P(x)=4x^4-3x^3+2x-1$ dan $Q(x)=x^3-2x^2+4$, tentukan:
a. $P(x)+Q(x)$
b. $P(x)-Q(x)$

Jawab:

a. $P(x)+Q(x)$
$\begin{align*}P(x)+Q(x)&=(4x^4-3x^3+2x-1)+(x^3-2x^2+4)\\&=(4x^4)+(-3x^3+x^3)+(-2x^2)+(2x)+(-1+4)\\&=4x^4-2x^3-2x^2+2x+3\end{align*}$

b. $P(x)-Q(x)$
$\begin{align*}P(x)+Q(x)&=(4x^4-3x^3+2x-1)-(x^3-2x^2+4)\\&=(4x^4)+(-3x^3-x^3)+(2x^2)+(2x)+(-1-4)\\&=4x^4-4x^3+2x^2+2x-5\end{align*}$

5. Perkalian Polinomial

Ketika kalian masih SMP, sesungguhnya kalian telah mempelajari perkalian polinomial, perharikan tumpuan berikut ini:

6. Kesamaan Polinomial

Pada polinomial, terdapat istilah kesamaan dan persamaan. Bisakah kalian membedakannya? perhatikan tumpuan berikut:

1. $2x-5=13$
2. $(x-3)(x+3)=x^2-9$

Pada tumpuan di atas, bentuk pertama yaitu $2x-5=13$ hanya benar untuk $x$ tertentu saja, kita sebut sebagai persamaan. Sedangkan bentuk kedua, yaitu $(x-3)(x+3)=x^2-9$ selalu benar untuk $x\in\mathbb{R}$, kita sebut sebagai kesamaan.

Kesamaan antara dua polinomial $f(x)$ dan $g(x)$ kalau dan hanya kalau setiap suku dengan pangkat sama mempunyai koefisien yang sama.

Contoh:

$px^2+qx+r\equiv3x^2+2x+5$, kalau dan hanya kalau koefisien-koefisiennya $p=3, q=2, r=5$

7. Pembagian Polinomial
Perhatikan uraian berikut mengenai pembagaian yang pernah kita pelajari dikala SD:

Jika kita membagi $13$ dengan $5$ maka akan bersisa $3$, atau sanggup di tulis:
$$13=5\times  2+3$$
dengan:
$13=$ yang di bagi
$5=$ pembagi
$2=$ hasil bagi
$3=$ sisa

dengan kata lain:
$$\boxed{\text{yang dibagi}=\text{pembagi}\times\text{hasil bagi}+\text{sisa}}$$

Algoritma yang sama berlaku juga pada polinomial, maka:
$$F(x)=P(x)\times H(x)+S(x)$$
dengan:
$F(x)=$ Polinomial yang dibagi
$P(x)=$ Pembagi
$H(x)=$ Hasil bagi
$S(x)=$ Sisa

Sementara, goresan pena ini saya sudahi dulu hingga disini. Materi ini belum selesai, tunggu Polinomian pecahan 2.

Sumber http://www.m4th-lab.net