Pada goresan pena ini saya akan mencoba membahas bahan bulat secara lengkap, berikut pola soal dan pembahasannya, jadi kalian tiba ke blog yang sempurna :)
Menentukan Persamaan Lingkaran
Mari kita pahami dulu definisi dari bulat sebagai berikut:
Lingkaran adalah daerah kedudukan titik-titik pada bidang yang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap sentra bulat disebut sebagai jari-jari lingkaran.
Mari kita pahami dulu definisi dari bulat sebagai berikut:
Lingkaran adalah daerah kedudukan titik-titik pada bidang yang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap sentra bulat disebut sebagai jari-jari lingkaran.
Sekarang, perhatikan gambar berikut:
$$\begin{align*}PA&=r\\ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}&=r\\(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\end{align*}$$
Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ kita sebut saja sebagai bentuk baku lingkaran.
Bentuk baku tersebut yang akan kita gunakan untuk memilih persamaan lingkaran. Jadi, untuk memilih persamaan bulat ada dua unsur yang wajib kita cari, yaitu titik sentra bulat dan jari-jari lingkaran, selanjutnya kita substitusikan terhadap bentuk baku lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa pola berikut:
Contoh 1:
Tentukan persamaan bulat yang berpusat di $(3, 4)$ dan berjari-jari $5$.
Jawab:
Untuk soal jenis ini, titik sentra dan jari-jari bulat sudah diketahui, jadi untuk memilih persamaan lingkaran, kita hanya perlu mensubstitusikan titik sentra dan jari-jari bulat pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Untuk soal jenis ini, titik sentra dan jari-jari bulat sudah diketahui, jadi untuk memilih persamaan lingkaran, kita hanya perlu mensubstitusikan titik sentra dan jari-jari bulat pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=5^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+64&=5^2\\x^2+y^2-6x-8y+73&=25\\x^2+y^2-6x-8y+48&=0\end{align*}$
Contoh 2:
Tentukan persamaan bulat yang berpusat di $(2, 3)$ dan melalui titik $(5, -1)$.
Jawab:
Beda dengan pola 1, pada pola 2 ini titik jari-jari bulat belum diketahui, jadi untuk memilih persamaan bulat kita harus mencari jari-jari bulat terlebih dahulu:
menentukan jari-jari lingkaran:
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-2)^2+(y-3)^2&=r^2\end{align*}$
Karena bulat melalui $(5, -1)$, maka substitusikan $x=5$ dan $y=-1$ pada persamaan di atas:
$\begin{align*}(5-2)^2+(-1-3)^2&=r^2\\3^2+(-4)^2&=r^2\\9+16&=r^2\\25&=r^2\\r&=\sqrt{25}\\r&=5\end{align*}$
Setelah kita memperoleh jari-jari dan sentra lingkaran, selanjutnya substitusikan pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y-3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2-6y+9&=25\\x^2+y^2-4x-6y+13&=25\\x^2+y^2-4x-6y-12&=0\end{align*}$
Contoh 3:
Jika diketahui titik $A(8, 4)$ dan $B(2, 4)$, Tentukan persamaan bulat yang melalui titik $A$ dan $B$ dan berdiameter $AB$.
Jawab:
Terlebih dahulu kita tentukan titik sentra dan jari-jari lingkaran:
Titik Pusat:
Pusat $=\left(\frac{8+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(5,4)$
Jari-jari Lingkaran:
Jari-jari bulat merupakan jarak setiap titik pada sisi bulat terhadap pusat, dalam pembahasan ini saya akan memakai jarak titik $A(8,4)$ terhadap sentra $P(5,4)$.
$\begin{align*}r=AP&=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}\\&=\sqrt{4^2}\\&=4\end{align*}$
Selanjutnya, kita tinggal substitusikan jari-jari dan titik sentra pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-5)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-10x+25+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-10x-8y+25&=0\end{align*}$
Contoh 4:
Tentukan persamaan bulat yang berpusat di $(3, 4)$ dan menyinggung sumbu $x$
Jawab:
Contoh 5:
Tentukan persamaan bulat yang berpusat di titik $P(2, -3)$ dan menyinggung garis $3x-4y+7=0$
Jawab:
Pada soal jenis ini, sentra bulat sudah diketahui, namun jari-jari belum diketahui, untuk itu kita harus mencari dulu jari-jari bulat tersebut. Caranya, kita gunakan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:
Misal kita akan mencari jarak titik $A(x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By+C=0$, jarak titik ke garis tersebut adalah
$$r=\left|\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
jadi, jari-jari bulat tersebut sanggup kita peroleh dengan mencari jarak titik sentra ke garis singgung:
$\begin{align*}r&=\left|\frac{3(2)+(-4)(-3)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\&=\left|\frac{6+12+7}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\&=\left|\frac{25}{5}\right|\\&=5\end{align*}$
selanjutnya, substitusikan sentra $(2,-3)$ dan jari-jari $r=5$ pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y+3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2+6y+9&=25\\x^2+y^2-4x+6y-12&=0\end{align*}$
Menentukan Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Jika kalian sudah paham cara mencari persamaan lingkaran, kini kita akan berguru bagaimana cara memilih titik sentra dan jari-jari. Masih ingat "bentuk baku lingkaran" yang tadi telah kita pelajari? kini mari kita uraikan bentuk tersebut sehingga kita peroleh bentuk umum lingkaran:
$$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+c^2&=r^2\\x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)&=0\end{align*}$$
Bentuk di atas sanggup kita tulis:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
dengan:
$A=-2a$
$B=-2b$
$C=a^2+b^2-r^2$
Cara memilih sentra dan jari-jari lingkaran:
Pusat bulat $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$
Jarti-jari bulat $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$
Contoh 6:
Tentukan titik sentra dan jari-jari lingkaran:
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$
Jawab:
Trik gampang memilih titik sentra ialah cukup dengan melihat koefisien variabel $x$ dan $y$, kemudian kita bagi dengan $-2$. Pada soal di atas, koefisien variabel $x$ dan $y$ ialah $4$ dan $-6$, kalau kita bagi dengan $-2$ maka kita peroleh $-2$ dan $3$. itulah titik sentra bulat tersebut.
Titik Pusat : $(-2, 3)$
Jika titik sentra telah kita dapatkan, cara memilih jari-jari, kita tinggal substitusikan titik sentra tersebut ke formula $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$. Pada soal di atas kita tau bahwa $a=-2$, $b=3$, dan $C=-12$, maka:
$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)}\\&=\sqrt{4+9+12}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$
Contoh 7:
Titik $(a, b)$ ialah sentra lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, tentukan nilai $2a+b$
Jawab:
dengan memakai cara ibarat pola 6, kita peroleh $a=1, b=-2$, maka $2a+b=2(1)+(-2)=0$
Contoh 8:
Agar bulat $x^2+y^2+4x-6y+C=0$ mempunyai panjang jari-jari $5$, tentukan nilai $C$
Jawab:
dari persamaan tersebut kita peroleh sentra $(-2, 3)$, maka:
$\begin{align*}C&=a^2+b^2-r^2\\&=(-2)^2+3^2-5^2\\&=4+9-25\\&=-12\end{align*}$
Baiklah, sementara itu dulu yang sanggup saya share pada kesempatan kali ini. Jika belum paham, baca ulang, pelajari ulang dan pahami pola soal dan pembahasan yang sudah saya berikan. Selanjutnya, kita akan berguru cara memilih garis singgung bulat pada posting berikutnya.
Semoga bermanfaat.
$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 September 2017
Jawab:
Terlebih dahulu kita tentukan titik sentra dan jari-jari lingkaran:
Titik Pusat:
Pusat $=\left(\frac{8+2}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(5,4)$
Jari-jari Lingkaran:
Jari-jari bulat merupakan jarak setiap titik pada sisi bulat terhadap pusat, dalam pembahasan ini saya akan memakai jarak titik $A(8,4)$ terhadap sentra $P(5,4)$.
$\begin{align*}r=AP&=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}\\&=\sqrt{4^2}\\&=4\end{align*}$
Selanjutnya, kita tinggal substitusikan jari-jari dan titik sentra pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-5)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-10x+25+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-10x-8y+25&=0\end{align*}$
Contoh 4:
Tentukan persamaan bulat yang berpusat di $(3, 4)$ dan menyinggung sumbu $x$
Jawab:
Dari gambar, kita sanggup melihat bahwa jari-jari bulat ialah $4$ dengan sentra $(3, 4)$, maka persamaan lingkarannya adalah:
$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\(x-3)^2+(y-4)^2&=4^2\\x^2-6x+9+y^2-8y+16&=16\\x^2+y^2-6x-8y+9&=0\end{align*}$
Contoh 5:
Tentukan persamaan bulat yang berpusat di titik $P(2, -3)$ dan menyinggung garis $3x-4y+7=0$
Jawab:
Pada soal jenis ini, sentra bulat sudah diketahui, namun jari-jari belum diketahui, untuk itu kita harus mencari dulu jari-jari bulat tersebut. Caranya, kita gunakan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:
Misal kita akan mencari jarak titik $A(x_1, y_1)$ ke garis $Ax+By+C=0$, jarak titik ke garis tersebut adalah
$$r=\left|\frac{Ax_1+By_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
jadi, jari-jari bulat tersebut sanggup kita peroleh dengan mencari jarak titik sentra ke garis singgung:
$\begin{align*}r&=\left|\frac{3(2)+(-4)(-3)+7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|\\&=\left|\frac{6+12+7}{\sqrt{9+16}}\right|\\&=\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\&=\left|\frac{25}{5}\right|\\&=5\end{align*}$
selanjutnya, substitusikan sentra $(2,-3)$ dan jari-jari $r=5$ pada bentuk baku $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$\begin{align*}(x-2)^2+(y+3)^2&=5^2\\x^2-4x+4+y^2+6y+9&=25\\x^2+y^2-4x+6y-12&=0\end{align*}$
Menentukan Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Jika kalian sudah paham cara mencari persamaan lingkaran, kini kita akan berguru bagaimana cara memilih titik sentra dan jari-jari. Masih ingat "bentuk baku lingkaran" yang tadi telah kita pelajari? kini mari kita uraikan bentuk tersebut sehingga kita peroleh bentuk umum lingkaran:
$$\begin{align*}(x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+c^2&=r^2\\x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)&=0\end{align*}$$
Bentuk di atas sanggup kita tulis:
$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$
dengan:
$A=-2a$
$B=-2b$
$C=a^2+b^2-r^2$
Cara memilih sentra dan jari-jari lingkaran:
Pusat bulat $(a,b)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$
Jarti-jari bulat $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$
Contoh 6:
Tentukan titik sentra dan jari-jari lingkaran:
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$
Jawab:
Trik gampang memilih titik sentra ialah cukup dengan melihat koefisien variabel $x$ dan $y$, kemudian kita bagi dengan $-2$. Pada soal di atas, koefisien variabel $x$ dan $y$ ialah $4$ dan $-6$, kalau kita bagi dengan $-2$ maka kita peroleh $-2$ dan $3$. itulah titik sentra bulat tersebut.
Titik Pusat : $(-2, 3)$
Jika titik sentra telah kita dapatkan, cara memilih jari-jari, kita tinggal substitusikan titik sentra tersebut ke formula $r=\sqrt{a^2+b^2-C}$. Pada soal di atas kita tau bahwa $a=-2$, $b=3$, dan $C=-12$, maka:
$\begin{align*}r&=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)}\\&=\sqrt{4+9+12}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$
Contoh 7:
Titik $(a, b)$ ialah sentra lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, tentukan nilai $2a+b$
Jawab:
dengan memakai cara ibarat pola 6, kita peroleh $a=1, b=-2$, maka $2a+b=2(1)+(-2)=0$
Contoh 8:
Agar bulat $x^2+y^2+4x-6y+C=0$ mempunyai panjang jari-jari $5$, tentukan nilai $C$
Jawab:
dari persamaan tersebut kita peroleh sentra $(-2, 3)$, maka:
$\begin{align*}C&=a^2+b^2-r^2\\&=(-2)^2+3^2-5^2\\&=4+9-25\\&=-12\end{align*}$
Baiklah, sementara itu dulu yang sanggup saya share pada kesempatan kali ini. Jika belum paham, baca ulang, pelajari ulang dan pahami pola soal dan pembahasan yang sudah saya berikan. Selanjutnya, kita akan berguru cara memilih garis singgung bulat pada posting berikutnya.
Semoga bermanfaat.
$\blacksquare$ Denih Handayani, 17 September 2017
Sumber http://www.m4th-lab.net