√ Memakai Integral Dalam Menghtung Luas Kawasan Yang Dibatasi Kurva

Setelah mempelajari integral tentu, mari kita melanjutkan bahan perihal penerapan integral dalam memilih luas kawasan yang dibatasi kurva. Ketika kita memiliki sebuah kurva y = f(x), tentunya terdapat suatu kawasan yang terletak dibawah atau di atas kurva. Jika kita membatasi kawasan tersebut dengan sumbu X atau sumbu Y maka akan diperoleh kawasan yang terbatas.Dalam hal ini sanggup dihitung luasnya.

Ada lagi kawasan yang dibatasi oleh dua kurva. Daerah tersebut juga sanggup dihitung luasnya. Hanya saja bentuk kawasan yang dibatasi tersebut tidak teratur. Bentuk-bentuk tersebut sanggup digambar menyerupai berikut.

Bagaimana cara menghitung  luas kawasan tersebut. Kita akan menghitung banyak sekali bentuk kawasan yang dibatasi kurva tersebut dengan memakai integral.

1. Jika terdapat kurva dengan persamaan y = f(x), luas kawasan yang berada dibawah kurva dan dibatasi oleh sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dirumuskan sebagai berikut.

 

2. Jika terdapat kurva dengan persamaan y = f(x), luas kawasan yang berada dibawah kurva dan dibatasi oleh sumbu X dirumuskan sebagai berikut. Titik a dan b merupakan titik potong kurva terhadap sumbu X.

 

 

3. Jika terdapat kurva dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x), luas kawasan yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut ialah sebagai berikut.

 

 

Kedua kurva berpotongan di titik x = a dan x = b.
Jika dalam permasalahan  diketahui kedua persamaan fungsinya, maka untuk mencari titik perpotongan kedua kurva dengan menyamakan kedua fungsi tersebut (f(x) = g(x)). Dari langkah tersebut, maka akan diperoleh nilai x-nya.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa teladan berikut.

1. Tentukan luas kawasan dibawah kurva y = 4x + 1 dan dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 5.

2. Tentukan luas kawasan dibawah kurva y = -x² – 3x + 4 dan di atas sumbu X.

3. Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = (x + 2)² – 9 dan dibatasi sumbu X.

4. Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = 2 – x.

5. Tentukan luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = 10 - x² dan y = (x – 2)².

 Jawaban:

1. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x + 1 dan dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 5. Perlu diketahui ahwa batas sumbu Y, sama artinya dengan batas x = 0. Sehingga batasan nilai x ialah 0 ≤ x ≤ 5.

Luasnya ialah :

Jadi, luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = 4x + 1 , sumbu X, sumbu Y, dan garis x = 5 ialah 55 satuan luas.

2. Luas kawasan dibawah kurva y = -x² – 3x + 4 dan di atas sumbu X

Langkah pertama kita memilih titik potong kurva terhadap sumbu X. Tujuannya untuk memilih batas bawah dan batas atas (sebagai batas integral).

Titik potong terhadap sumbu X (y = 0)

 -x² – 3x + 4 = 0

x² + 3x - 4 = 0

(x + 4)(x – 1) = 0

x = -4 atau x = 1

Sehingga x = 1 sebagai  batas bawah dan x = 5 sebagai batas atas untuk integral.

3.  Diketahui kurva y = (x + 2)² – 9 dan dibatasi sumbu X.

y = (x + 2)² – 9 atau y = (x² + 4x + 4) – 9 atau y = x² + 4x – 5.

Kurva tersebut memotong di sumbu X (y = 0) dengan cara berikut.

x² + 4x - 5 = 0

(x + 5)(x – 1) = 0

x = -5 atau x = 1

Gambar

4. Luas kawasan yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = 2 – x.

 Sebelum memilih luasnya,mari kita tentukan titik potong kedua grafik/kurva tersebut. Titik potong tersebut untuk memilih batas bawah dan batas atas dari bentuk integralnya.

y₁ = y₂

x²  = 2 – x

x²  + x – 2 = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = -2 atau x = 1

Gambar kedua kurva sebagai berikut.

 

 

 

5. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 10 - x² dan y = (x – 2)²

Sebelum memilih luasnya,mari kita tentukan titik potong kedua grafik/kurva tersebut. Titik potong tersebut untuk memilih batas bawah dan batas atas dari bentuk integralnya.

y₁ = y₂

10 - x²  = (x – 2)²

10 - x²  = x²  - 4x + 4

2x²  - 4x - 6 = 0

x²  - 2x - 3 = 0

(x + 1)(x – 3) = 0

x = -1 atau x = 3

Gambar dari kedua kurva sebagai berikut.

 

 

 Jadi,luas yang dibatasi kedua kurva tersebut ialah 22 2/3 satuan luas.

Demikianlah sekilas bahan perihal cara memilih luas kawasan yang dibatasi oleh suatu kurva memakai integral.

Semoga bermanfaat.

Materi Terkait
Integral untuk Menghitung Volume Benda Putar (1)

Sumber http://imathsolution.blogspot.com