√ Memilih Suku Ke-N Dan Jumlah N Suku Pertama Barisan Dan Deret Aritmetika Dan Geometri

A.   Pola Barisan Bilangan

Pola barisan  bilangan mempunyai arti suatu susunan bilangan yang mempunyai bentuk teratur atau suatu bilangan yang tersusun dari beberapa bilangan lain yang membentuk suatu pola.

Contoh contoh barisan bilangan

1.    Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . .

       Rumus : U_n = 2n

2.    Pola bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . .

       Rumus : U_n = 2n - 1

3.    Pola bilangan persegi  : 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . .

       Rumus : U_n = n²

4.    Pola bilangan kubik : 1, 8, 27, 64, 125, . . . .

       Rumus : U_n = n³

5.    Pola bilangan persegi panjang : 2, 6, 12, 20, 30, . . . .

       Rumus : U_n = n(n + 1)

6.    Pola bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . . . .

       Rumus : U_n =(1/2)n(n + 1)

 

B. Barisan dan Deret Aritmetika

 Barisan aritmetika ialah barisan bilangan yang mempunyai contoh setiap bilangan berurutan mempunyai selisih sama. Jika setiap barisan bilangan mempunyai suku pertama a dan beda = b, maka:

Rumus suku ke-n ialah : .

 

Rumus jumlah n suku pertama adalah:

 

C. Barisan dan Deret Geometri

 Barisan geometri ialah barisan bilangan yang mempunyai contoh setiap bilangan berurutan mempunyai rasio sama. Jika setiap barisan bilangan mempunyai suku pertama a dan rasio = r, maka:

Rumus suku ke-n adalah: 

 

Rumus jumlah n suku pertama ialah :

 

 

Menentukan suku ke-n jikalau diketahui jumlah suku-sukunya dirumuskan:

 

 

 

 

Contoh soal dan Pembahasan:

1. Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan Suku ke-18.

Jawaban:

Diketahui : a = 5 dan b = 3

Rumus suku ke-n:

Un = a + (n - 1)b

 U18 = 5 + (18-1)3

= 5 + (17)(3)

= 5 + 51

=56

Jadi, suku ke-18 ialah 56.

 

2. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 18 dan suku ke-10 = 36. Tentukan suku ke-30.

Jawaban:

U4 = 18 maka a + 3b = 18        . . .(1)

U10 = 36 maka a + 9b = 36      . . .(2)

Eliminasi a pada kedua persamaan

 a + 3b = 18        . . .(1)

a + 9b = 36      . . .(2)

______________________ _

-6b  = -18

b = 3

Substitusikan b = 3 ke persamaan a + 3b = 18, maka:

a + 3(3) = 18, sehingga a + 9 = 18, dan hasilnya a = 9.

Rumus umum barisan menjadi: 

Un = 9 + (n - 1)3 atau Un = 3n + 6.

Dengan demikian suku ke-30 sanggup dicari sebagai berikut.

U30 = 3(30) + 6

       =  90 + 6

       = 96

Jadi, suku ke-30 ialah 96.

3. Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-10 = 34 dan suku ke-15= 54. Tentukan  jumlah 8 suku pertama.

Jawaban:

U10 = 34 maka a + 9b = 34        . . .(1)

U15 = 54 maka a + 14b = 54      . . .(2)

Eliminasi a pada kedua persamaan

 a + 9b = 34       . . .(1)

a + 14b = 54      . . .(2)

______________________ _

-5b  = -20

b =4

Substitusikan b = 4 ke persamaan a + 9b = 34, maka:

a + 9(4) = 34, sehingga a + 36 = 34, dan hasilnya a = -2.

Rumus umum barisan menjadi: 

Jumlah 8 suku pertama sanggup dicari sebagai berikut.

Sn = (n/2) (2a + (n-1)b)

S8 = (8/2) (2(-2) + (8-1)4)

= 4(-4 + 28)

= 4(24)

= 96

Jadi, jumlah 8 suku pertama ialah 96.

4. Diketahui deret aritmetika dengan jumlah n suku pertama dirumuskan Sn = n^2 + 5n + 4 . Tentukan suku ke 5.

Jawaban:

Un = Sn - S(n-1)

= 5^2 + 5(5) + 4 -(4^2 + 5(4) + 4)

= (25 + 25 + 4) - ( 16 + 20 + 4)

= 54 - 40

= 14

Jadi, suku ke- 5 ialah 14.

 

5.  Seorang karyawan mendapatkan bonus tahunan pertama sebesar Rp2.000.000,00. Setiap tahun bonus yang diterima akan naik Rp150.000,00. Jumlah bonus yang diterima karyawan selama 10 tahun?

     Jawaban :

Permasalahan tersebut merupakan bentuk deret aritmetika dengan suku awal = a = 2.000.000 dan beda = b = 150.000.

Jumlah 10 suku pertama (S₁₀) sanggup dihitung sebagai berikut.

   Sn    = (n/2)(2a + (n – 1)b)

   S10 = (n/2)(2(2.000.000) + 9(150.000))

         = 5(4.000.000 + 1.350.000)

         = 5(5.350.000)

         = 26.750.000

Jadi, jumlah bonus yang diterima karyawan selama 10 tahun sebanyak Rp26.750.000,00.

6. Diketahui suku ke-2 dan suku ke-6 suatu barisan geometri ialah 14 dan 224. Tentukan Suku ke-10 barisan tersebut.

     Jawaban:

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui: U₂ = ar = 14

     U₆ = ar⁵ = 224

     Menentukan nilai rasio (r)

     ar⁵ = 224          ar x r⁴ = 224

                              14 x r⁴ = 224

                              r⁴ = 224/14 = 16

                              r = 2

     U₁₀ = ar⁹    = ar x r⁸

                      = 14 x 2⁸

                      = 14 x 246

                      = 3.584

     Jadi, suku ke-10 ialah 3.584.

7. Diketahui deret geometri dengan suku ke-4 = 24 dan suku ke-7 ialah 192. Tentukan jumlah 10 suku pertama.

     Jawaban:

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui:

     U₄ = ar³ = 24

     U₇ = ar⁶ = 192

    

     Menentukan nilai r

     U7/U4 = 196/24    r³ = 8  

                                  r = 2

     ar³ = 24

      a(2)³  = 24

     8a  = 24

     a  = 3

     Jumlah 10 suku pertama deret geometri 

 

  Jadi, jumlah 10 suku pertama ialah 3.096.

8. Sebuah sel membelah diri menjadi empat setiap 20 menit. Jika mula-mula terdapat 3 sel, Berapa banyak sel sesudah 2 jam?

    

     Jawaban:

     Permasalahan perihal barisan geometri.

     Barisan geometri : U_n = ar^n-1

     Diketahui:

     suku awal (a) = 20 dan rasio (r) = 4

     2 jam = 120 menit = 6 × 20 menit

     Sehingga n = 6

     U₆ = ar⁵ = 3 × 4⁵

                  = 3 × 1.024

                  = 3.072

     Jadi, banyak sel sesudah 2 jam ialah  3.072.

Demikian sedikit bahan perihal barisan dan deret aritmetika dan geometri.
Semoga bermanfaat.

Sumber http://imathsolution.blogspot.com