1. Aturan Pencacahan / Atuan Perkalian
Aturan pencacahan dan hukum perkalian merupakan salah satu ilmu yang dipelajari dalam matematika di tingkat SMA. Aturan perkalian/pencacahan digunakan dalam menghitung banyaknya cara kita sanggup menyusun atau menciptakan dari beberapa objek yang digunakan. Tentunya dengan syarat yang sudah ditentukan.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa pola berikut.
Contoh 1
Adi mempunyai 2 pasang sepatu (warna hitam dan putih) dan 3 pasang kaus kaki (warna hitam, putih dan coklat). Berapa cara berbeda Adi menggunakan sepatu dan kaos kaki?
Jawaban:
Misalkan jenis/warna sepatu = H dan P
Jenis/warna kaus kaki = h, p, c
Sehingga Adi sanggup mengkombinasi antara sepatu dan kaus kaki sebgai berikut.
Hh, Hp, Hc, Ph, Pp, Pc (Hh = Sepatu hitam-Kaus kaki hitam)
Jadi, ada 6 cara berbeda Adi menggunakan kombinasi sepatu dan kaus kaki.
Cara 2:
Jenis dan banyak sepatu = 2
Jenis dan banyak kaus kaki = 3
Banyak cara mengkombinasi sepatu dan kaus kaki yakni :
= 2 x 3
= 6 cara
Contoh 2
Pak Budi akan pergi ke kota X melalui kota Y. Dari rumah ke kota Y sanggup melalui 4 rute. Dari kota Y ke kota X sanggup melalui 2 rute. Berapa banyak rute yang berbeda sanggup ditempuh Pak Budi?
Jawaban:
Rute dari rumah ke kota Y = 4 rute
Rute dari kota Y ke kota X = 2 rute
Banyak rute berbeda yang ditempuh Pak Budi
= 4 x 2
= 8
Jadi, ada 8 rute berbeda yang sanggup ditempuh Pak Budi.
Contoh 3
Terdapat bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibentuk bilangan tiga angka. Tentukan banyaknya bilangan yang sanggup dibentuk bila memiliki syarat berikut.
a. Boleh ada angka yang sama
b. Tidak ada pengulangan angka yang sama.
c. Bilangan yang terbentuk lebih dari 300 (boleh pengulangan angka)
d. Bilangan yang terbentuk lebih dari 300 ( tidak ada pengulangan angka yang sama)
Jawaban:
Bilangan yang terbentuk yakni bilangan ratusan, sehingga sanggup dibentuk menyerupai berikut.
Terdapat 3 daerah yang sanggup diisi angka
a. Boleh ada angka yang sama (angka boleh diulang)
Pada Ratusan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
Pada Puluhan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
Pada Satuan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
b. Tidak ada pengulangan angka yang sama
Pada Ratusan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
Pada Puluhan : Bisa menentukan 4 angka tersisa (satu angka sudah digunakan di ratusan)
Pada Satuan : Bisa menentukan 3 angka tersisa (satu angka sudah digunakan di ratusan & puluhan)
5 cara | 4 cara | 3 cara |
c. Bilangan di atas 300 dengan angka-angkanya boleh diulang
Pada Ratusan : Bisa menentukan 3 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, dan 5)
Pada Puluhan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
Pada Satuan : Bisa menentukan 5 angka tersedia
3 cara | 5 cara | 5 cara |
d. Bilangan di atas 300 dengan angka-angkanya dihentikan diulang
Pada Ratusan : Bisa menentukan 3 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, dan 5)
Pada Puluhan : Bisa menentukan 4 angka tersisa (satu angka sudah digunakan di ratusan)
Pada Satuan : Bisa menentukan 3 angka tersisa (satu angka sudah digunakan di ratusan dan satuan)
3 cara | 4 cara | 3 cara |
Terdapat bilangan 0 hingga dengan 9 akan dibentuk bilangan empat angka (bilangan Ribuan). Tentukan banyaknya bilangan yang sanggup dibentuk bila memiliki syarat berikut.
a. Bilangan ganjil
b. Bilangan kelipatan 5
c. Bilangan antara 3.000 dan 7.000
Catatan : Angka boleh diulang pada setiap bilangan
Jawaban:
Bilangan yang terbentuk yakni bilangan Ribuan, sehingga sanggup dibentuk menyerupai berikut.
Ribuan | Ratusan | Puluhan | Satuan |
Pada Satuan : Bisa menentukan 5 angka tersedia (yaitu angka 1, 3, 5, 7, dan 9)
Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, dan puluhan.
Pada Ribuan : Bisa menentukan 9 angka tersedia (selain 0)
Pada Ratusan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada Puluhan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk yakni bilangan Ribuan, sehingga sanggup dibentuk menyerupai berikut.
9 cara | 10 cara | 10 cara | 5 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
b. Bilangan kelipatan 5.
Ciri bilangan kelipatan 5 yakni bilangan yang satuannya angka 0 dan 5.Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka satuannya angka 0 dan 5.
Pada Satuan : Bisa menentukan 2 angka tersedia (yaitu angka 0 dan 5)
Baru kemudian angka-angka pada ribuan, ratusan, dan puluhan.
Pada Ribuan : Bisa menentukan 9 angka tersedia (selain 0)
Pada Ratusan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada Puluhan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk yakni bilangan Ribuan, sehingga sanggup dibentuk menyerupai berikut.
9 cara | 10 cara | 10 cara | 2 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
c. Bilangan antara 3.000 dan 7.000.
Ciri bilangan antara 3.000 dan 7.000 yakni bilangan yang ribuannya3, 4, 5, dan 6. Dengan demikian untuk mengisi angka-angka pada kotak tersedia pertama kali penuhi syarat pokoknya. Dalam hal ini adalah angka ribuannya haruslah angka 3, 4, 5, dan 6.
Pada Ribuan : Bisa menentukan 4 angka tersedia (yaitu angka 3, 4, 5, dan 6)
Baru kemudian angka-angka pada ratusan, puluhan dan satuan.
Pada Ratusan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada puluhan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 - 9)
Pada satuan : Bisa menentukan 10 angka tersedia (1 - 9)
Bilangan yang terbentuk yakni bilangan Ribuan, sehingga sanggup dibentuk menyerupai berikut.
4 cara | 10 cara | 10 cara | 10 cara |
Banyak bilangan yang terbentuk
Demikianlah sedikit bahan perihal hukum perkalian/pencacahan.
Selanjutnya, mari mempelajari perihal permutasi dan kombinasi.
Contoh 5
Diberikan angka 0, 1, 2,3, 4, dan 5. Dari angka tersebut akan dibentuk bilangan tiga angka (ratusan) tanpa ada angka yang sama. Tentukan banyaknya bilangan yang sanggup disusun bila :
a. jumlah digit pembentuknya sama dengan 6.
b. jumlah digit pembentuknya sama dengan 9.
Jawaban:
a. Kelompok angka-angka yang dijumlahkan 6.
(0, 1, dan 5) sanggup dibentuk 105, 150, 501, 510
(0, 2, dan 4) sanggup dibentuk 204, 240, 402, 420
(1, 2, dan 3) sanggup dibentuk 123, 132, 213, 231, 312, 321
Ada 14 bilangan.
Jadi,ada14 bilangan ratusan yang jumlah digit-digitnya 6.
b. Kelompok angka-angka yang dijumlahkan 9 dan bilangan yang terbentuk.
(0, 4, dan 5) sanggup dibentuk 405, 450, 504, 540
(1, 3, dan 5) sanggup dibentuk 135, 153, 315, 351, 513, 53
(2, 3, dan 4) sanggup dibentuk 234, 243, 324, 342, 423. 432
Ada 16 bilangan.
Jadi,ada16 bilangan ratusan yang jumla digit-digitnya 6.
Sumber http://imathsolution.blogspot.com