Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yaitu bentuk aljabar yang memiliki pangkat tertinggi yaitu 2 dan memuat tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel yaitu persamaan kuadrat yang hanya memiliki satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat yang akan kita bahas ini yaitu persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan 0.
Contoh bentuk persamaan kuadrat
- x2 + 3x + 2 = 0
- x2 – 2x + 1 = 0
- 4y2 – 9 = 0
- 3p2 – 9p = 0
- x2 + 6x = 16
- 2m2 – 7m = 4
- 3x2 – 4x – 20 = 0
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu memilih solusi atau pengganti variabel yang berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.
Sebagai pola menyerupai berikut.
Menentukan penyelesaian dari x2 + 3x + 2 = 0.
x = 1 bukan penyelesaian, alasannya 12 + 3(1) + 2 = 0 bernilai salah
x = 2 bukan penyelesaian, alasannya 22 + 3(2) + 2 = 0 bernilai salah
x = -1 merupakan penyelesaian, alasannya (-1)2 + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar
x = -2 merupakan penyelesaian, alasannya (-2)2 + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar
Jadi, penyelesaian dari persamaan x2 + 3x + 2 = 0 yaitu x = -1 atau x = -2.
Cara memilih penyelesaian dengan cara coba-coba memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka diharapkan cara lain yang lebih efektif dan efisien.
Sebelum menuntaskan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s suatu bilangan dan x yaitu variabel akan menghasilkan bentuk aljabar kuadrat.
Dapat ditulis menyerupai berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + bx + c
(px + q)(rx + s) = ax2 + bx + c
Dengan demikian bentuk ax2 + bx + c sanggup difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan dipakai dalam penyelesaian persoalan persamaan kuadrat.
Bentuk persamaan ax2 + bx + c = 0 sanggup diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Jadi, penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut yaitu x = -q/p atau x = -s/r.
Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola berikut.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari x2 + 5x + 4 = 0
Jawaban
x2 + 5x + 4 = 0
(x – 4)(x – 1) = 0
x – 4 = 0 atau x – 1 = 0
x = 4 x = 1
Jadi, penyelesaian dari persamaan x2 + 5x + 4 = 0 yaitu x = 4 atau x = 1.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari x2 – 3x – 10 = 0
Jawaban
x2 – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x + 2 = 0 atau x – 5 = 0
x = -2 x = 5
Jadi, penyelesaian dari persamaan x2 – 3x – 10 = 0 yaitu x = -2 atau x = 5.
Contoh 3
Tentukan nilai y yang memenuhi 4y2 – 49 = 0
Jawaban
4y2 – 49 = 0
(2y)2 –72 = 0
(2y – 7)(2y + 7) = 0
2y – 7 = 0 atau 2y + 7= 0
y = 7/2 y = -7/2
Jadi, penyelesaian dari persamaan 4y2 – 49 = 0 yaitu x = 7/2 atau x = -7/2
Contoh 4
Tentukan nilai m yang memenuhi 2m2 – 7m – 4 = 0
Jawaban
2m2 – 7m – 4 = 0
2m2 – 8m + m – 4 = 0
2m(m – 4) + m – 4 = 0
(m – 4)(2m + 1) = 0
m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0
m = 4 m = -1/2
Jadi, penyelesaian dari persamaan 2m2 – 7m – 4 = 0 yaitu x = 4 atau x = -1/2
Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat yaitu bentuk aljabar yang memiliki pangkat tertinggi yaitu 2 dan memuat tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel yaitu pertidaksamaan kuadrat yang hanya memiliki satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.
Pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas ini yaitu pertidaksamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c >= 0, dan ax2 + bx + c <= 0 dengan a tidak sama dengan 0.
Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat
- x2 + 6x + 5 < 0
- x2 – 4x – 12 > 0
- 9y2 – 25 >= 0
- 12p2 – 9p <= 0
- x2 + 6x > 16
- 2m2 – 7m < 4
- 3x2 – 4x – 20 > 0
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat hampir sama caranya dengan menuntaskan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk memilih tempat penyelesaian.
Perhatikan langka-langkah penylesaian dari beberapa pola pertidaksamaan kuadrat berikut.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari x2 – 2x – 8 > 0
Jawaban
x2 – 2x – 8 > 0
(x + 2)(x – 4) > 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x + 2 = 0 atau x – 4 = 0
x = -2 x = 4
Membuat garis bilangan untuk memilih tempat penyelesaian.
Daerah x < -2 bernilai positif
Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif
Daerah x > 4 bernilai positif
Oleh lantaran penyelesaian yang dimaksud dari soal yaitu lebih dari 0 (....> 0), maka penyelesaiannya dipilih tempat yang bernilai positif.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 2x – 8 > 0 yaitu x < -2 atau x > 4.
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari x2 – 7x + 10 < 0
Jawaban
x2 – 7x + 10 < 0
(x – 5)(x – 2) < 0
Menentukan pembuat nol fungsi
x – 5 = 0 atau x – 2 = 0
x = 5 x = 2
Membuat garis bilangan untuk memilih tempat penyelesaian.
Daerah x < 2 bernilai positif
Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif
Daerah x > 5 bernilai positif
Oleh lantaran penyelesaian yang dimaksud dari soal yaitu kurang dari 0 (.... < 0), maka penyelesaiannya dipilih tempat yang bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 7x + 10 < 0 yaitu 2 < x < 5.
Contoh 3
Tentukan penyelesaian dari 3x2 – 4x – 20 <= 0
Jawaban
3x2 – 4x – 20 <= 0
3x2 + 6x – 10x – 20 <= 0
3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0
(3x – 10) (x + 2) <= 0
Menentukan pembuat nol fungsi
3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0
x = 10/3 x = –2
Membuat garis bilangan untuk memilih tempat penyelesaian.
Daerah x < –2bernilai positif
Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif
Daerah x > 10/3 bernilai positif
Oleh lantaran penyelesaian yang dimaksud dari soal yaitu kurang dari 0 (.... <= 0), maka penyelesaiannya dipilih tempat yang bernilai negatif.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 3x2 – 4x – 20 <= 0 yaitu -2 < x < 10/3.
Sumber http://imathsolution.blogspot.com