A. KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)
Jika terdapat n buah daerah yang tersedia, dengan:
k1 = banyaknya cara untuk mengisi daerah pertama
k2 = banyaknya cara untuk mengisi daerah kedua sehabis daerah pertama terisi
k3 = banyaknya cara untuk mengisi daerah ketiga sehabis daerah kedua terisi]
kn = banyaknya cara untuk mengisi daerah ke-n sehabis daerah ke (n-1) terisi
maka banyaknya cara untuk mengisi n daerah yang tersedia secara keseluruhan adalah
k1 x k2 x k3 x … x kn
Contoh 1:
Seseorang mempunyai 3 kemeja dan 2 celana berbeda. Dengan berapa carakah orang tersebut sanggup memakai setelan pakaian?
Jawab:
Kejadian pertama sanggup diisi dengan 3 cara.
Kejadian kedua sanggup diisi dengan 2 cara.
Banyaknya cara yang sanggup terjadi: 3 × 2 = 6 cara
Contoh 2:
Dari lima buah angka 4,5,6,7,8 hendak disusun bilangan genap yang terdiri atas 3 angka. Berapakah banyaknya bilangan yang sanggup disusun kalau bilangan tersebut boleh ada yang sama dan kalau tidak boleh ada yang sama.
Jawab:
Jika boleh ada yang sama:
Angka pertama (ratusan) sanggup menentukan 5 angka
Angka kedua (puluhan) sanggup menentukan 5 angka
Angka ketiga (satuan) sanggup menentukan 3 angka
Jadi banyaknya bilangan genap yang sanggup disusun yaitu 5 × 5 × 3 = 75 Bilangan
Jika dihentikan ada yang sama:
Karena dihentikan ada yang sama maka kita dengan satuan
Angka ketiga (satuan) sanggup menentukan 3 angka
Angka kedua (puluhan) sanggup menentukan 4 angka
Angka pertama (ratusan) sanggup menentukan 3 angka
Jadi banyaknya bilangan genap yang sanggup disusun yaitu 3 × 4 × 3 = 36 Bilangan
2. Kidah Penjumlahan
Kaidah penjumlahan dilakukan jika unsur-unsur yang tersedia tidak dipilih atau tidak dipakai secara bersama-sama.
Contoh:
Andi mempunyai 3 mobil,2 sepeda motor, dan 4 sepeda. Ada berapakah banyaknya cara Andi pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut?
Jawab:
Banyaknya cara pergi kesekolah dengan kendaraan tersebut yaitu 3 + 2 + 4 = 9 cara
3. Kaidah Perkalian
Kaidah perkalian dilakukan kalau unsur-unsur yang tersedia dipakai secara bersamaan.
Contoh:
Seseorang hendak bepergian dari kota A ke kota C.
Dari kota A ke kota B terdapat 5 jalan, dan dari kota B ke kota C terdapat 2 jalan. Ada berapakah banyaknya jalur yang dapt ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B?
Jawab:
Banyaknya jalur yang sanggup ditempuh orang tersebut dari kota A ke kota C melalui kota B adalah
5 x 2 =10
B. PERMUTASI
Secara umum banyaknya permutasi dari n objek diambil r objek dinotasikan nPr atau P(n,r)
P(n,r) = n! / (n-r)!
Dengan catatan r ≤ n
Yang harus diperhatikan dalam permutasi yaitu dalam permutasi Urutan Sangat diperhatikan
(ab ≠ ba).
Notasi n! dibaca n faktorial.
Untuk setiap n bil. Asli didefinisikan:
n! = n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × … × 3 × 2×1
catatan: 1! = 1 dan 0! = 1
Contoh 1 (permasalahan Permutasi):
Berapakah banyaknya permutasi dari 6 unsur yang diambil 4?
Jawab:
n = 6 dan r = 4, maka:
P(6,4) = 6! / (6-4)! = (6.5.4.3.2.1)/(2.1) = 360
Contoh 2:
Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 2 angka yang dibuat dari angka-angka 3,4 dan 5 ?
Jawab:
P(3,2) = 3! / (3-2)! = 6 bilangan
PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA
Banyaknya permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama diambil semua, maka banyaknya permutasi adalah:
P = n! / (k! × l! × m!)
Contoh:
Ada berapakah banyaknya kata yang sanggup dibuat dari karakter S, A, S ?
Jawab:
n = 3, karakter S = 2, karakter A = 1
P = 3! / 2! = 3 , yaitu kata SAS, SSA dan ASS
jika permutasi dari n objek yang memuat k , l, dan m objek yang sama diambil r objek. maka banyaknya permutasi adalah:
P = n! / [(n-r)! (k! × l! × m!)]
Contoh:
Ada berapakah banyaknya kata yang terdiri dari 2 huruf yang sanggup dibuat dari karakter S, A, S ?
Jawab:
n = 3, r = 2 , karakter S = 2, karakter A = 1
P = 3! /[(3-2)!×2!] = 3 , yaitu kata SA, SS dan AS
PERMUTASI SIKLIS
Permutasi dari n objek yang berbeda disusun secara melingkar adalah:
P(siklis) = (n - 1) !
Contoh:
Angga, Ana, Rizka, dan Frida akan mengadakan berguru bersama pada sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka sanggup duduk mengelilingi meja tersebut?
Jawab:
n = 4
maka;
P= (4-1)! = 3! = 6 cara
C. KOMBINASI
Kombinasi yaitu suatu susunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur tanpa memperhatikan urutannya.
Secara umum banyaknya kombinasi dari n objek yang berbeda diambil r objek yangberbeda sanggup dinotasikan dengan;
C(n,r) = n!/[(n-r)!r!]
Dengan catatan r ≤ n
Contoh:
Sebuah kantong berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng kuning. Dari kantong tersebut diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Ada berapa cara pengambilan kalau kelereng yang diambil:
- ketiganya berwarna merah
- 2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning
- banyaknya pengambilan dengan warna bebas
Jawab:
- Ketiganya berwarna merah
C(7,3) = 7! / [(7-3)! 3!] = 35
- 2 kelereng berwarna merah dan 1 kelereng berwarna kuning
C(7,2) × C(5,1) = [7!/(5!×2!)]×[5!/(4!×1!) = 105
- banyaknya pengambilan dengan warna bebas
C(12,3) = 12! / (9!×3!) = 220