Penerapan deret aritmetika dalam kehidupan keseharian sangat banyak. Selain itu dalam hal bilangan penggunaan deret aritmetika juga diperlukan. Perlu diketahui bahwa barisan aritmetika yakni barisan bilangan yang mempunyai beda antarsuku selalu sama.
Jika teladan barisan bilangan mempunyai suku awal a dan beda (Selisih) = b, maka teladan bilangan sanggup dituliskan sebagai berikut.
a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, .......
Adapun deret aritmetika yakni jumlah bilangan-bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Deret aritmetik dituliskan sebagai berikut.
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + .......+ a + (n – 1)b
Untuk mempelajari penerapan tentang barisan dan deret aritmetika, mari menyelesaikan permasalahan di bawah ini.
Permasalahan 1
Diketahui jumlah 3 bilangan ganjil berurutan yakni 5.001. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil sanggup disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.
Jika terdapat tiga bilangan ganjil berurutan maka sanggup dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5.
Jumlah 3 bilangan ganjil berurutan yakni 5.001.
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 5.001
6n + 9 = 5.001
6n = 5.001 – 9
6n = 4.992
n = 4.992 : 6
n = 832
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n + 1 = 2(832) + 1 = 1.664 + 1 = 1.665
2n + 3 = 2(832) + 3 = 1.664 + 3 = 1.667
2n + 5 = 2(832) + 5 = 1.664 + 5 = 1.669
Jadi, ketiga bilangan itu yakni 1.665, 1.667, dan 1.669.
Permasalahan 2
Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan yakni 12.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap sanggup disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n, atau 2n + 2.
Jika terdapat tiga bilangan genap berurutan maka sanggup dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4.
Jumlah 3 bilangan genap berurutan yakni 12.000.
2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 12.000
6n + 6 = 12.000
6n = 12.000 – 6
6n = 11.994
n = 11.994 : 6
n = 1.999
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n = 2(1.999) = 3.998
2n + 2 = 2(1.999) + 2 = 3.998 + 2 = 4.000
2n + 4 = 2(1.999) + 4 = 3.998 + 4 = 4.002
Jadi, ketiga bilangan itu yakni 3.998, 4.000, dan 4.002.
Permasalahan 3
Diketahui jumlah 5 bilangan ganjil berurutan yakni 9.005. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil sanggup disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n + 1.
Jika terdapat lima bilangan ganjil berurutan maka sanggup dituliskan: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9.
Jumlah 5 bilangan ganjil berurutan yakni 9.005.
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 9.005
10n + 15 = 9.005
10n = 9.005 – 15
10n = 8.990
n = 8.990 : 10
n = 899
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n + 1 = 2(899) + 1 = 1.798 + 1 = 1.799
2n + 3 = 2(899) + 3 = 1.798 + 3 = 1.801
2n + 5 = 2(899) + 5 = 1.798 + 5 = 1.803
2n + 7 = 2(899) + 7 = 1.798 + 7 = 1.805
2n + 9 = 2(899) + 9 = 1.798 + 9 = 1.807
Jadi, kelima bilangan itu yakni 1.799, 1.801, 1.803, 1.805, dan 1.807.
Permasalahan 4
Diketahui jumlah 5 bilangan genap berurutan yakni 100.000. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian
Ingat bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap sanggup disimbolkan atau dimisalkan dengan 2n atau 2n + 2.
Jika terdapat lima bilangan genap berurutan maka sanggup dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8.
Jumlah 5 bilangan genap berurutan yakni 100.000.
(2n) + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 100.000
10n + 20 = 100.000
10n = 100.000 – 20
10n = 99.980
n = 99.980 : 10
n = 9.998
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n = 2(9.998) = 19.996
2n + 2 = 2(9.998) + 2 = 19.996 + 2 = 19.998
2n + 4 = 2(9.998) + 4 = 19.996 + 4 = 20.000
2n + 6 = 2(9.998) + 6 = 19.996 + 6 = 20.002
2n + 8 = 2(9.998) + 8 = 19.996 + 8 = 20.004
Jadi, kelima bilangan itu yakni 19.996, 19.998, 20.000, 20.002, dan 20.004.
Permasalahan 5
Diketahui panjang tali mula-mula yakni 950 cm. Tali itu akan dipotong menjadi 5 tali dan panjang tali membentuk barisan aritmetika. Tentukan panjang setiap tali kalau selisih antartali yakni 5 cm.
Penyelesaian
Permasalahan wacana deret aritmetika dengan jumlah 5 bilangan.
Diketahui Jumlah lima tali (Sn) = 950 dan beda (b) = 5.
Sehingga sanggup ditulis:
a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = S5
a + (a + 5) + (a + 2(5)) + (a + 3(5)) + (a + 4(5)) = 950
a + (a + 5) + (a + 10) + (a + 15) + (a + 20) = 950
5a + 50 = 950
5a = 950 – 50
5a = 900
a = 900 : 5
a = 180
Sehingga diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
a ; (a + 5) ; (a + 10) ; (a + 15) dan (a + 20)
180 ; (180 + 5) ; (180 + 10) ; (180 + 15) dan (180 + 20)
180, 185, 190, 195, dan 200.
Jadi, kelima bilangan itu yakni 180, 185, 190, 195, dan 200.
Demikianlah sekilas bahan wacana penerapan barisan dan deret aritmetika dalam menuntaskan masalah.
Semoga bermanfaat.
Sumber http://imathsolution.blogspot.com
