√ Mau Ahli Aplikasi Integral Luas Dan Volume Benda Putar? Ini Solusinya

Setelah beberapa waktu lalu, kita ngobrol soal turunan fungsi "aneh" (dapat Anda baca di sini), kali ini kita coba ngobrol soal integral atau anti-turunan fungsi. Jikalau turunan kita menurunkan satu atau lebih orde fungsi, maka dalam integral yang kita lakukan justru sebaliknya.

Integral yaitu proses meningkatkan sebuah fungsi satu orde atau lebih sedemikian rupa sehingga didapatkan hasilnya. Integral secara umum terbagi menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.

Integral tak tentu merupakan bentuk integral yang nilainya masih dalam bentuk persamaan dengan variabel (peubah). Dalam integral tak tentu, biasanya ditandai dengan konstanta (C) untuk setiap hasil pengintegralan tak tentu. Sebaliknya, pengintegralan tertentu fungsi menghasilkan sebuah angka riil pada selang interval kontinu tertentu. Dalam praktiknya, integral tertentu sebuah fungsi kontinu pada selang (a, b) sanggup dikatakan sebagai luas kawasan tersebut serta merupakan bilangan non-negatif.

Sebelum lebih jauh ngobrol perihal integral, alangkah baiknya kita berguru dahulu contoh dasar-dasar integral tak tentu dan tertentu. Integral tak tentu secara umum sanggup diformulasikan sebagai berikut.

Sedangkan integral tertentu sanggup dituliskan sebagai berikut.

Contoh 1
Hitunglah hasil integral dari fungsi berikut.

Jawab:

Contoh 2
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:

Contoh 3
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:

Contoh 4
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:

Contoh 5
Hasil pengintegralan fungsi berikut.

Adalah...

Jawab:

Setelah paham dasar mengintegralkan, baik tak tentu maupun tertentu, selanjutnya kita akan ngobrol mengenai aplikasi integral untuk mencari luas bidang kurva dan volume benda putar.

Luas Kurva
Dalam konsep lain, integral dari sebuah fungsi memang sanggup dipandang sebagai luas kawasan di bawah fungsi (kurva) tertentu. Katakanlah fungsi f(x) yang kontinu pada selang a hingga b, maka integral dari a hingga b f(x) yaitu luas bidang di bawah kurva f(x).

Tidak hanya dibatasi sebuah fungsi saja, kita sanggup pula memilih luas bidang yang dibatasi oleh dua atau lebih fungsi yang berbeda. Katakanlah fungsi x disimbolkan sebagai f(x) dan fungsi lain yakni g(x) di mana fungsi f(x) di atas dari fungsi g(x) dan keduanya kontinu pada selang a hingga b, maka secara umum, luas bidang yang dibatasi oleh f(x) dan g(x) pada selang a hingga b sanggup dirumuskan sebagai berikut.

Volume Benda Putar

Selain luas kawasan yang dibatasi oleh fungsi, integral juga sanggup dipakai untuk memilih volume bentukan hasil perputaran sebuah fungsi tertentu.

Apabila ditinjau dari karakteristik ∆x atau contoh perubahan x, teknik mencari volume hasil perputaran fungsi sanggup dibagi menjadi dua, yaitu teknik cakram dan teknik kulit tabung.

Kondisi yang memungkinkan memakai teknik cakram dalam menghitung volume benda putar ditinjau dari irisan melintang ∆x yang diputar tegak lurus terhadap poros (sumbu) putar. Secara sederhananya, teknik cakram sanggup diilustrasikan sebagai berikut.

Berbeda dengan teknik cakram, teknik kulit tabung sanggup dipakai apabila kondisi irisan melintang ∆x diputar sejajar poros (sumbu) putar. Secara sederhana sanggup diilustrasikan berikut.

Dengan mengacu pada gambaran teknik cakram, maka volume benda putar sanggup ditentukan dengan memakai rumus berikut.

Sedangkan untuk teknik kulit tabung dan menurut gambaran tersebut, maka volume benda putar dengan teknik ini sanggup memakai rumus berikut.

Agar tidak mengawang-awang, untuk lebih jelasnya kita sanggup ngobrol lebih lanjut perihal beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1
Diketahui kawasan D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = √x ; y = 1 ; x = 4
Tentukan a. Luas kawasan D, b. Volume benda putar kalau kawasan D diputar melalui sumbu Y...

Jawab:

Sebelum menghitung luas dan volume benda putarnya, lebih dulu kita gambar kurva fungsinya berikut.

Amati, bahwa ∆A = ∆x.∆y
Pilihan apakah kita pakai fungsi dalam x atau y, bebas. Namun, sebagai contoh kita gunakan ∆x, artinya kita ubah fungsi dalam x ke fungsi dalam y.

y = √x menjadi x = y^2 sehingga:

∆x = 4 - y^2 (karena fungsi x = 4 berada di atas fungsi x = y^2)

Kemudian lihat bahwa ∆y yaitu 1 hingga 2 (perpotongan pada ordinat) dengan demikian:

∆A = ∆x.∆y
∆A = (4 - y^2).∆y

Maka, luas kawasan D dalam bentuk integral sanggup ditulis:

Volume

Amati bahwa ∆y diputar pada sumbu Y sehingga sanggup kita gunakan teknik cakram dengan pengintegralan berikut:

Jari-jari luar = 4
Jari-jari dalam = y^2

Contoh 2
Diketahui kawasan D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = -x^2 + 4 ; y = x + 2
Tentukan a. Luas kawasan D, b. Volume benda putar kalau kawasan D diputar melalui sumbu X adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:

Amati, bahwa titik potong kedua kurva yaitu (-2,0) dan (1,3) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x

Volume benda putar

Amati bahwa dalam kasus ini ∆x diputar mengelilingi sumbu X sehingga teknik cakram cocok digunakan. Jari-jari luar = (-x^2 - 4) dan jari-jari dalam = (x + 2) sehingga:

Contoh 3
Diketahui kawasan D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = 4 - x^2 ; y = 3x
Tentukan a. Luas kawasan D, b. Volume benda putar kalau kawasan D diputar melalui garis x = 4 adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:

Amati, bahwa titik potong kedua kurva yaitu (1,3) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x

Volume benda putar

Amati bahwa titik putar di x = 4 atau dengan kata lain jari-jari putarnya (4 - x). ∆x diputar sejajar dengan sumbu putar sehingga yang relevan yaitu teknik kulit tabung:

Contoh 4
Diketahui kawasan D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = 1 - x^2 ; y = 1 ; x = 1
Tentukan a. Luas kawasan D, b. Volume benda putar kalau kawasan D diputar melalui sumbu Y adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:

Amati, bahwa titik potong kedua kurva yaitu (1,1) dan (0,1) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x

Volume benda putar

Amati bahwa sumbu putarnya sumbu Y, dan partisi ∆x diputar sejajar sumbu putar, maka teknik yang relevan yaitu teknik kulit tabung, tinggi benda putarnya 0 hingga 1, jari-jarinya x, ∆y = x^2. Dengan demikian maka:

Contoh 5
Diketahui kawasan D dibatasi oleh fungsi berikut:
y = x^2 ; y = 1 ; x = 2
Tentukan a. Luas kawasan D, b. Volume benda putar kalau kawasan D diputar melalui garis x = 3 adalah...

Jawab:
Kita gambar dulu kurva semua fungsi sebagai berikut:

Amati, bahwa titik potong kedua kurva yaitu (1,1) dan (2,4) sehingga perhitungan luas:

∆A = ∆y.∆x

Volume benda putar

Partisi ∆x terlihat diputar sejajar sumbu putar sehingga teknik yang relevan yaitu kulit tabung. Tingginya dari 1 hingga 2 (lihat titik potong terhadap Y). Karena sumbu putarnya x = 3, maka jari-jarinya = (3 - x), dengan demikian maka:

Sumber http://www.ngobrolstatistik.com/